《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

问题背景：
(1) 已知 $ A(1,2) $、$ B(3,2) $、$ C(1,-1) $、$ D(-3,-3) $,在如图所示的平面直角坐标系中描出这几个点,并分别找到线段 $ AB $ 和 $ CD $ 的中点 $ P_1 $、$ P_2 $,然后写出它们的坐标,则 $ P_1 $______,$ P_2 $______。
探究发现：
(2) 结合上述计算结果,发现若线段的两个端点的坐标分别为 $ (x_1,y_1) $、$ (x_2,y_2) $,则线段的中点坐标为______。
拓展应用：
(3) 利用上述规律解决下列问题：已知三点 $ E(-1,2) $、$ F(3,1) $、$ G(1,4) $,若第四个点 $ H(x,y) $ 与点 $ E $、$ F $、$ G $ 中的一个构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合,求点 $ H $ 的坐标。

答案：
(1)(2,2) (-1,-2)
(2)($\frac{x₁+x₂}{2}$,$\frac{y₁+y₂}{2}$)
(3)
∵ E(-1,2)、F(3,1)、G(1,4),
∴ EF、FG、EG的中点坐标分别为(1,$\frac{3}{2}$)、(2,$\frac{5}{2}$)、(0,3).①当HG过EF的中点(1,$\frac{3}{2}$)时,$\frac{x+1}{2}$=1,$\frac{y+4}{2}$=$\frac{3}{2}$.解得x=1,y=-1,故H(1,-1).②当EH过FG的中点(2,$\frac{5}{2}$)时,$\frac{-1+x}{2}$=2,$\frac{2+y}{2}$=$\frac{5}{2}$.解得x=5,y=3,故H(5,3).③当FH过EG的中点(0,3)时,$\frac{3+x}{2}$=0,$\frac{1+y}{2}$=3.解得x=-3,y=5,故H(-3,5).
∴ 点H的坐标为(1,-1)、(5,3)、(-3,5).

| 图形运动 | 运动后点的坐标 | 运动前点的坐标 $ (x,y) $ |
| 关于 $ x $ 轴对称 | | |
| 关于 $ y $ 轴对称 | | |
| 关于原点对称 | | |
| 沿 $ x $ 轴向右平移 $ a $ 个单位 | | |
| 沿 $ y $ 轴向上平移 $ b $ 个单位 | | |
| 图形以原点为位似中心放大 $ k $ 倍 | | |

答案： 运动后点的坐标表格（横向排列）：
|关于 $x$ 轴对称|关于 $y$ 轴对称|关于原点对称|向右平移 $a$ 个单位|向上平移 $b$ 个单位|以原点为位似中心放大 $k$ 倍|
|----|----|----|----|----|----|
|$(x, -y)$|$(-x, y)$|$(-x, -y)$|$(x + a, y)$|$(x, y + b)$|$(kx, ky)$|

1. 如图是蜡烛的平面镜成像原理图,以桌面为 $ x $ 轴,镜面为 $ y $ 轴(镜面厚度忽略不计)建立平面直角坐标系。如果某时刻烛焰尖 $ S $ 点的坐标是 $ (-4,2) $,那么此时对应的烛焰虚像尖 $ S' $ 点的坐标是______。

答案： (4,2)

2. 如图,点 $ A $ 的坐标为 $ (0,3) $,点 $ C $ 的坐标为 $ (1,0) $,点 $ B $ 的坐标为 $ (1,4) $,将 $ \triangle ABC $ 沿 $ y $ 轴向下平移,使点 $ A $ 平移至坐标原点 $ O $,再将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ O $ 逆时针旋转 $ 90° $,此时点 $ B $ 的对应点为点 $ B' $,点 $ C $ 的对应点为点 $ C' $,则点 $ C' $ 的坐标为( )。

A.$ (4,1) $
B.$ (1,4) $
C.$ (3,1) $
D.$ (1,3) $

答案： C