《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

1. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC = 5$,$\sin B = \frac{4}{5}$,则 $BC$ 的长是( )。

A.$3$
B.$6$
C.$8$
D.$9$

答案： 1.B

2. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\sin B = \frac{3}{5}$,点 $D$ 在边 $BC$ 上,$BD = 4$,连结 $AD$,$\tan\angle DAC = \frac{2}{3}$。
(1)求 $AC$ 的长。
(2)求 $\tan\angle BAD$ 的值。

答案： 2.
(1)设$AC=3m$.
$\because \angle C=90^{\circ}$,$\tan \angle DAC=\frac{2}{3}$,
$\therefore CD=2m$.
又$\because \angle C=90^{\circ}$,$\sin B=\frac{3}{5}$,
$\therefore AB=5m$,$BC=4m$.
$\because BD=4$,$BC=CD+BD$,
$\therefore 4m=2m+4$.
解得$m=2$.
$\therefore AC=3m=6$.
(2)如图,过点D作$DE\perp AB$于点E.
由
(1)知,$AB=5m=10$,$AC=6$,$BD=4$.
$\because \frac{AB\cdot DE}{2}=\frac{BD\cdot AC}{2}$,
$\therefore \frac{10× DE}{2}=\frac{4× 6}{2}$.
解得$DE=\frac{12}{5}$.
$\because AC=6$,$CD=2m=4$,$\angle C=90^{\circ}$,
$\therefore AD=\sqrt{6^{2}+4^{2}}=2\sqrt{13}$.
$\therefore AE=\sqrt{AD^{2}-DE^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{13})^{2}-\left(\frac{12}{5}\right)^{2}}=\frac{34}{5}$.
$\therefore \tan \angle BAD=\frac{DE}{AE}=\frac{\frac{12}{5}}{\frac{34}{5}}=\frac{6}{17}$,
即$\tan \angle BAD$的值是$\frac{6}{17}$.

3. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AD$ 是 $BC$ 边上的高,$BD = AC = 10$,$\tan B = \frac{4}{5}$。
(1)求 $AD$ 的长。
(2)求 $\cos C$ 的值和 $S_{\triangle ABC}$。

答案： 3.
(1)$\because AD\perp BC$,
$\therefore \angle ADB=\angle ADC=90^{\circ}$.
在$Rt\triangle ABD$中,$\tan B=\frac{AD}{BD}=\frac{4}{5}$,
$\because BD=AC=10$,
$\therefore AD=8$.
(2)在$Rt\triangle ACD$中,$\angle ADC=90^{\circ}$,$AC=10$,$AD=8$,
$\therefore CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$.
$\therefore BC=BD+CD=16$,
$\cos C=\frac{CD}{AC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AD=\frac{1}{2}× 16× 8=64$.

4. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$BD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线,$DE\perp AB$,垂足为点 $E$,已知 $AE = 16$,$\sin A = \frac{3}{5}$。
(1)求 $CD$ 的长。
(2)求 $\angle DBC$ 的正切值。

答案： 4.
(1)设$DE=3x$,
$\because \sin A=\frac{DE}{AD}=\frac{3}{5}$,
$\therefore AD=5x$.
由勾股定理,得$AD^{2}=DE^{2}+AE^{2}$,
$\therefore 25x^{2}=9x^{2}+16^{2}$.
解得$x=4$.
$\therefore DE=12$.
$\because \angle C=90^{\circ}$,$BD$是$\triangle ABC$的角平分线,$DE\perp AB$,
$\therefore CD=DE=12$.
(2)设$BC=y$,
$\therefore BC=BE=y$.
$\therefore AB=16+y$.
$\because \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$,
$\therefore \frac{y}{16+y}=\frac{3}{5}$.
解得$y=24$.
$\therefore \tan \angle DBC=\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}$.