《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

3. 圭表(如图 1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”)。当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏至。图 2 是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图,表 $ AC $ 垂直于圭 $ BC $,已知该市冬至正午太阳高度角(即 $ \angle ABC $)为 $ 37^{\circ} $,夏至正午太阳高度角(即 $ \angle ADC $)为 $ 84^{\circ} $,圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即 $ DB $ 的长)为 $ 4 m $。
(1) 求 $ \angle BAD $ 的度数。
(2) 求表 $ AC $ 的长。(参考数据：$ \sin 37^{\circ} \approx \dfrac{3}{5} $,$ \cos 37^{\circ} \approx \dfrac{4}{5} $,$ \tan 37^{\circ} \approx \dfrac{3}{4} $,$ \tan 84^{\circ} \approx \dfrac{19}{2} $,精确到 $ 0.1 m $)

答案：
(1)
∵ ∠ADC=84°,∠ABC=37°,
∴ ∠BAD=∠ADC - ∠ABC=47°.
(2)在Rt△ABC中,tan37°=$\frac{AC}{BC}$,
∴ BC=$\frac{AC}{\tan37°}$.
在Rt△ADC中,tan84°=$\frac{AC}{DC}$,
∴ DC=$\frac{AC}{\tan84°}$.
∵ BD=4,
∴ BC - DC=$\frac{AC}{\tan37°}$ - $\frac{AC}{\tan84°}$=BD=4.
∴ $\frac{4}{3}$AC - $\frac{2}{19}$AC≈4.
解得AC≈3.3.
答:表AC的长约为3.3 m.