《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

22. (8 分)第 19 届亚运会于 2023 年 9 月 23 日在中国杭州举行,某商场在销售亚运会吉祥物徽章时发现,当每套徽章盈利 40 元时,每天可售出 20 套. 为了喜迎亚运会,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果销售单价每降价 1 元,该商店平均每天将多销售 2 套.
(1)当每套徽章盈利 38 元时,每天可多销售多少套？
(2)商场为了尽快减少库存,每套吉祥物徽章降价多少元时,该商场销售吉祥物徽章的日盈利可达到 1200 元？

答案：
(1)(40-38)×2=4(套).
答:当每套徽章盈利38元时,每天可多销售4套.
(2)设每套吉祥物徽章降价x元时,商场销售吉祥物徽章的日盈利可达到1200元,根据题意,得
(40-x)(20+2x)=1200.
解得$x_{1}=20,x_{2}=10$(不符合题意,舍去).
答:每套吉祥物徽章降价20元时,商场销售吉祥物徽章的日盈利可达到1200元.

23. (12 分)$\triangle ABC和\triangle DEF$是两个全等的等腰直角三角形,$\angle BAC = \angle EDF = 90^{\circ}$,$\triangle DEF的顶点E与\triangle ABC的斜边BC$的中点重合,将$\triangle DEF绕点E$旋转,旋转过程中,线段$DE与线段AB相交于点P$,线段$EF与射线CA相交于点Q$.
(1)如图 1,当点$Q在线段AC$上,且$AP = AQ$时,求证：$\triangle BPE \cong \triangle CQE$.
(2)如图 2,当点$Q在线段CA$的延长线上时,求证：$\triangle BPE \sim \triangle CEQ$,并求当$BP = 2$,$CQ = 9时BC$的长.

答案：
(1)
∵ △ABC是等腰直角三角形,
∴ ∠B=∠C=45°,AB=AC.
∵ AP=AQ,
∴ BP=CQ.
∵ E是BC的中点,
∴ BE=CE.
在△BPE和△CQE中,
$\begin{cases} BE=CE, \\ ∠B=∠C, \\ BP=CQ, \end{cases}$
∴ △BPE≌△CQE(S.A.S.).
(2)
∵ △ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,
∴ ∠B=∠C=∠DEF=45°.
∵ ∠BEQ=∠EQC+∠C,
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,
∴ ∠BEP+45°=∠EQC+45°.
∴ ∠BEP=∠EQC.
∴ △BPE∽△CEQ.
∴ $\frac{BP}{CE}=\frac{BE}{CQ}$.
∵ BP=2,CQ=9,BE=CE,
∴ $BE^{2}=18$.
∴ $BE=CE=3\sqrt{2}$.
∴ $BC=6\sqrt{2}$.