《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

21. (8 分)若最简二次根式 $\sqrt{2a - 2}$ 与 $\sqrt{-a + 16}$ 可以合并.
(1) 求 $a$ 的值.
(2) 对于任意不相等的两个数 $x$、$y$,定义一种运算“※”如下：$x※y = \frac{\sqrt{x + y}}{x - y}$,如：$3※2 = \frac{\sqrt{3 + 2}}{3 - 2} = \sqrt{5}$.请求 $a※[a※(-2)]$ 的值.

答案：
(1)$\because$最简二次根式$\sqrt{2a-2}$与$\sqrt{-a+16}$可以合并,
$\therefore2a-2=-a+16$.
$\therefore a=6$.
(2)当$a=6$时,
$a※[a※(-2)]$
$=6※[6※(-2)]$
$=6※\frac{\sqrt{6-2}}{6+2}$
$=6※\frac{1}{4}$
$=\frac{\sqrt{6+\frac{1}{4}}}{6-\frac{1}{4}}=\frac{10}{23}$.

22. (8 分)请阅读下列材料,并完成相应的任务.
斐波那契(约 $1170 - 1250$)是意大利数学家,他研究了一列数,这列数非常奇妙,被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中,发现了许多意想不到的结果,在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的花瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.
斐波那契数列中的第 $n$ 个数可以用 $\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$ 表示(其中 $n \geq 1$),这是用无理数表示有理数的一个范例.
任务：请根据以上材料,通过计算求出斐波那契数列中的第 $1$ 个数和第 $2$ 个数.

答案： 第1个数:当$n=1$时,
$\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]$
$=\frac{1}{\sqrt{5}}×\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$
$=\frac{1}{\sqrt{5}}×\sqrt{5}$
$=1$.
第2个数:当$n=2$时,
$\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]$
$=\frac{1}{\sqrt{5}}×\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2}\right]$
$=\frac{1}{\sqrt{5}}×\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$
$=\frac{1}{\sqrt{5}}×1×\sqrt{5}=1$.