《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

如图,某中学课外兴趣小组准备围建一个矩形花园 $ABCD$,其中一边靠墙,另外三边用总长为 $60m$ 的篱笆围成,与墙平行的一边 $BC$ 上要预留 $2m$ 宽的入口(如图中 $MN$ 所示,不用篱笆),已知墙长为 $28m$。
(1)当矩形花园的长 $BC$ 为多少米时,矩形花园的面积为 $300m^{2}$？
(2)能否围成面积为 $500m^{2}$ 的矩形花园？若能,求出 $BC$ 长；若不能,说明理由。

答案： （1）设矩形花园的长BC为$x$ m，
则矩形花园的宽AB为$\frac{1}{2}(60 - x + 2)$ m，
根据题意，得
$\frac{1}{2}(60 - x + 2)x=300$.
整理，得$x^{2}-62x + 600=0$.
解得$x_{1}=12,x_{2}=50$.
∵ 28＜50，
∴ $x_{2}=50$不符合题意，舍去.
∴ $x=12$.
答：当矩形花园的长BC为12 m时，矩形花园的面积为$300m^{2}$.
（2）不能.
理由：设矩形花园BC的长为$y$ m，则矩形花园AB的长为$\frac{1}{2}(60 - y + 2)$ m，根据题意，得
$\frac{1}{2}(60 - y + 2)y=500$.
整理，得$y^{2}-62y + 1000=0$.
∵ $\Delta=b^{2}-4ac$
$=(-62)^{2}-4×1×1000$
$=-156＜0$，
∴ 该方程无实数根，即不能围成面积为$500m^{2}$的矩形花园.
答：不能围成面积为$500m^{2}$的矩形花园.

列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为：审、设、列、解、验、答. 审就是审题,找到题目中的______；设指设未知数,可以______设,也可以间接设；列是列______；解是求所列方程的______；验指检验方程的解是否正确,并且是否______；答指写出答案。

答案： 等量关系；直接；一元二次方程；解；符合题意

1. 如图,要建一个矩形花圃,花圃的一边利用长为 $12m$ 的墙(图中阴影部分),另外三边用 $25m$ 长的篱笆围成. 为方便进出,在垂直于墙的一边留一个 $1m$ 宽的木板门. 设花圃与墙垂直的一边长为 $x m$,若花圃的面积为 $80m^{2}$,则所列方程正确的是( )。

A.$x(26 - 2x)= 80$
B.$x(24 - 2x)= 80$
C.$(x - 1)(26 - 2x)= 80$
D.$(x - 1)(25 - 2x)= 80$

答案： A

2. 如图,要使用长为 $27m$ 的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为 $12m$),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。
(1)如果要围成面积为 $54m^{2}$ 的花圃,那么 $AD$ 的长为多少？
(2)能否围成面积为 $90m^{2}$ 的花圃？若能,请求出 $AD$ 的长；若不能,请说明理由。

答案： （1）设AD的长为$x$ m，则AB=
$27 - 3x$，根据题意，得
$x(27 - 3x)=54$.
整理，得$x^{2}-9x + 18=0$.
解得$x_{1}=3,x_{2}=6$.
∵ 墙的最大可用长度为12 m，
∴ $27 - 3x\leq12$.
∴ $x\geq5$.
∴ $x=6$，即AD的长为6 m.
（2）不能围成面积为$90m^{2}$的花圃.
理由：假设存在符合条件的长方形，设AD的长为$y$ m，根据题意，得
$(27 - 3y)\cdot y=90$.
整理，得$y^{2}-9y + 30=0$.
∵ $\Delta=b^{2}-4ac$
$=(-9)^{2}-4×1×30$
$=-39＜0$，
∴ 该方程无实数根.
∴ 不能围成面积为$90m^{2}$的花圃.