《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

17. (8 分)下面是小文进行二次根式混合运算的过程,请认真阅读,完成相应的任务：
$\begin{array}{l}解：(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}×(5 + 2\sqrt{6}) \\=(3 - 2\sqrt{6}+2)×(5 + 2\sqrt{6}) \quad 第 1 步 \\=(5 - 2\sqrt{6})×(5 + 2\sqrt{6}) \quad 第 2 步 \\=25 - 12 \quad 第 3 步 \\=13. \quad 第 4 步\end{array} $
任务：
(1) 上述解答过程中,第 $ 1 $步依据的乘法公式为______(用字母表示).
(2) 上述解答过程,从第______步开始出错,具体的错误是______.
(3) 正确的计算结果为______.

答案：
(1)$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$
(2)3 $(2\sqrt{6})^{2}$计算错误
(3)1

18. (6 分)学校计划利用一片空地建一个长方形电动车车棚,其中一面靠墙,墙的长度为 $ 8m $,在与墙平行的一面开一个 $ 2m $宽的门. 已知现有的木板材料可新建的总长为 $ 26m $,且全部用于除墙外其余三面外墙的修建.
(1) 长方形车棚与墙垂直的一面至少为______ $ m $.
(2) 为了方便学生通行,施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路(如图中阴影部分),若车棚与墙垂直的一面长按(1)中的最小长度,则停放电动车的区域面积能否达到 $ 66.5m^{2} $？若能,求此时小路的宽是多少米；若不能,请说明理由.

答案：
(1)10
(2)设小路的宽为$a\ m$,根据题意,得$(8-2a)(10-a)=66.5$.整理,得$4a^{2}-56a+27=0$.解得$a_{1}=\frac{27}{2}＞8$(舍去),$a_{2}=\frac{1}{2}$.答:小路的宽为$\frac{1}{2}\ m$.

19. (8 分)已知关于 $ x $的一元二次方程 $ mx^{2}+(2m - 1)x + m - 4 = 0 $.
(1) 当 $ m $为何值时,方程有两个不相等的实数根？
(2) 当 $ m = 2 $时,用合适的方法求此时该方程的解.

答案：
(1)根据题意,得$\Delta＞0$,即$(2m-1)^{2}-4m(m-4)＞0$.整理,得$4m^{2}-4m+1-4m^{2}+16m＞0$.解得$m＞-\frac{1}{12}$.
∵ 该方程为一元二次方程,
∴ $m\neq 0$.
∴ 当$m＞-\frac{1}{12}$,且$m\neq 0$时,方程有两个不相等的实数根.
(2)当$m=2$时,方程为$2x^{2}+3x-2=0$,$\Delta=9+4× 2× 2=25＞0$,
∴ $x=\frac{-3\pm \sqrt{25}}{2× 2}=\frac{-3\pm 5}{4}$.
∴ $x_{1}=-2$,$x_{2}=\frac{1}{2}$.