《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

11. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-2x + k= 0$有两个不相等的实数根,请写出一个满足题意的$k$的值：______.

答案： 答案不唯一,如-1,0等

12. 如果$2x^{2}+1与4x^{2}-2x - 5$互为相反数,那么$x$的值为______.

答案： 1或$-\dfrac{2}{3}$

13. 下面是小明解方程$x^{2}-5x= -4$的过程：
∵ $a= 1$,$b= -5$,$c= -4$, 第一步
∴ $b^{2}-4ac= (-5)^{2}-4×1×(-4)= 41$. 第二步
∴ $x= \frac{5\pm\sqrt{41}}{2}$. 第三步
∴ $x_{1}= \frac{5+\sqrt{41}}{2}$,$x_{2}= \frac{5-\sqrt{41}}{2}$. 第四步
小明从第______步开始出错.

答案： 一

14. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步),只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步). 问阔及长各几步？若设阔(宽)为$x$步,则所列方程为______.

答案： $x(x+12)=864$

15. 飞机起飞时,首先要在跑道上滑行一段路程,这种运动在物理学上叫匀加速运动,其公式为$s= \frac{1}{2}at^{2}$. 若飞机在起飞前滑行4000m的距离,其中$a= 20m/s^{2}$,则飞机起飞用的时间$t= $______s.

答案： 20

16. (10分)根据要求,解答下列问题：
(1)①方程$x^{2}-2x + 1= 0$的解为______；
②方程$x^{2}-3x + 2= 0$的解为______；
③方程$x^{2}-4x + 3= 0$的解为______；
……
(2)根据以上方程的特征及其解的特征,请猜想：
①方程$x^{2}-9x + 8= 0$的解为______；
②关于$x$的方程______的解为$x_{1}= 1$,$x_{2}= n$.
(3)请用配方法解方程$x^{2}-9x + 8= 0$,以验证猜想结论的正确性.

答案：
(1)①$x_{1}=x_{2}=1$；②$x_{1}=1$,$x_{2}=2$；③$x_{1}=1$,$x_{2}=3$；
(2)①$x_{1}=1$,$x_{2}=8$；②$x^{2}-(1+n)x+n=0$；
(3)$x^{2}-9x=-8$,$x^{2}-9x+\dfrac{81}{4}=-8+\dfrac{81}{4}$,$\left(x-\dfrac{9}{2}\right)^{2}=\dfrac{49}{4}$,$x-\dfrac{9}{2}=\pm\dfrac{7}{2}$,解得$x_{1}=1$,$x_{2}=8$.
∴ 猜想正确.

17. (8分)已知关于$x的一元二次方程kx^{2}-(2k + 4)x + k - 6= 0$有两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围.
(2)当$k= 1$时,用配方法解方程.

答案：
(1)
∵ 关于x的一元二次方程$kx^{2}-(2k+4)x+k-6=0$有两个不相等的实数根,
∴ $\Delta=(2k+4)^{2}-4k(k-6)＞0$,且$k\neq0$,解得$k＞-\dfrac{2}{5}$,且$k\neq0$.
(2)当$k=1$时,原方程为$x^{2}-(2×1+4)x+1-6=0$,即$x^{2}-6x-5=0$.移项,得$x^{2}-6x=5$.配方,得$x^{2}-6x+9=5+9$,即$(x-3)^{2}=14$.直接开平方,得$x-3=\pm\sqrt{14}$,即$x_{1}=3+\sqrt{14}$,$x_{2}=3-\sqrt{14}$.