《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

1. 阅读教材 $ P_{108} $ 中的内容,并回答下列问题.
(1) 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90° $, $ \angle A = 30° $.
① 设 $ BC = a $,则 $ AB = $ ______, $ AC = $ ______；
② 依据图形,写出 $ 30° $、 $ 60° $ 角的所有三角函数值.
(2) 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90° $, $ \angle A = 45° $.
① 设 $ BC = a $,则 $ AC = $ ______, $ AB = $ ______；
② 依据图形,写出 $ 45° $ 角的三个三角函数值.
(3) 尝试完成下表：
| $ \alpha $ | $ \sin \alpha $ | $ \cos \alpha $ | $ \tan \alpha $ |
| $ 30° $ | | | |
| $ 45° $ | | | |
| $ 60° $ | | | |

答案： 1.
(1)①2a $\sqrt{3}a$
②$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$,$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$;$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$,$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$
(2)①a $\sqrt{2}a$
②$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\tan45^{\circ}=1$
(3)$\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 1
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\sqrt{3}$

2. 阅读教材 $ P_{109} $ 中的“例 2”,并回答问题.
你认为在完成“例 2”这类问题时,应注意什么？

答案： 计算时要注意特殊角的三角函数值的准确性。

1. 计算： $ \tan 30° \cdot \sin 60° - \cos^2 45° = $ ______.

答案： 0

2. 求 $ 2 \sin (\alpha - 20°) = \sqrt{3} $ 中锐角 $ \alpha $ 的值.

答案： $\because$ $2\sin(\alpha-20^{\circ})=\sqrt{3}$,
$\therefore$ $\sin(\alpha-20^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\because$ $\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
$\therefore$ $\alpha-20^{\circ}=60^{\circ}$.
$\therefore$ $\alpha=80^{\circ}$.

3. 若 $ \sin (\alpha - 15°) = \frac{\sqrt{2}}{2} $( $ \alpha $ 为锐角).
(1) 求 $ \alpha $ 的值.
(2) 计算： $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha $.

答案：
(1)$\because$ $\sin(\alpha-15^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\alpha$为锐角,
$\therefore$ $\alpha-15^{\circ}=45^{\circ}$.
$\therefore$ $\alpha=60^{\circ}$.
(2)$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=(\sin60^{\circ})^{2}+(\cos60^{\circ})^{2}=(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}=1$.