《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

已知关于$x的一元二次方程(a + c)x^{2}+2bx+a - c = 0$,其中$a$、$b$、$c分别为\triangle ABC$三边的长。
(1) 如果$x = -1$是方程的根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由。
(2) 如果方程有两个相等的实数根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由。
(3) 如果$\triangle ABC$是等边三角形,试求这个一元二次方程的根。

答案：
(1)$\triangle ABC$是等腰三角形.
理由:$\because$$x=-1$是方程的根,
$\therefore$$(a+c)×(-1)^{2}-2b+(a-c)=0.$
$\therefore$$a+c-2b+a-c=0.$
$\therefore$$a-b=0.$
$\therefore$$a=b.$
$\therefore$$\triangle ABC$是等腰三角形.
(2)$\triangle ABC$是直角三角形.
理由:$\because$方程有两个相等的实数根,
$\therefore$$(2b)^{2}-4(a+c)(a-c)=0.$
$\therefore$$4b^{2}-4a^{2}+4c^{2}=0.$
$\therefore$$a^{2}=b^{2}+c^{2}.$
$\therefore$$\triangle ABC$是直角三角形.
(3)$\because$$\triangle ABC$是等边三角形,
$\therefore$方程$(a+c)x^{2}+2bx+(a-c)=0$可整理为$2ax^{2}+2ax=0.$
$\therefore$$x^{2}+x=0.$
解得$x_{1}=0,x_{2}=-1.$

______叫做一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0$($a\neq0$)的根的判别式。
如何用根的判别式判断方程$ax^{2}+bx+c = 0$($a\neq0$)的根的情况？

答案： $b^{2}-4ac$；当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。

1. 若关于$x的一元二次方程9x^{2}-6x+c = 0$有两个相等的实数根,则$c$的值为( )。

A.$-9$
B.$4$
C.$-1$
D.$1$

答案： D

2. 关于$x的方程2x^{2}-mx-1 = 0$的根的情况是( )。

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.由于不知道$m$的值,无法确定

答案： A

3. 若一元二次方程$mx^{2}+2x+1 = 0$有实数解,则$m$的取值范围是( )。

A.$m\geq -1$
B.$m\leq1$
C.$m\geq -1且m\neq0$
D.$m\leq1且m\neq0$

答案： D

4. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-2\sqrt{3}x+m = 0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围是______。

答案： $m＜3$