《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

15. (10 分)如图①,将两块直角三角尺的直角顶点 $ C $ 叠放在一起.
(1)判断 $ \angle ACE $ 与 $ \angle BCD $ 的大小关系,并说明理由.
(2)若 $ \angle DCE = 30^{\circ} $,求 $ \angle ACB $ 的度数.
(3)猜想: $ \angle ACB $ 与 $ \angle DCE $ 有怎样的数量关系,并说明理由.
(4)若改变其中一个三角尺的位置,如图②,则第(3)小题的结论还成立吗? 直接写出结论.

答案：
(1)∠ACE=∠BCD.理由如下:因为∠ACE+∠DCE=90°,∠BCD+∠DCE=90°,所以∠ACE=∠BCD.
(2)因为∠DCE=30°,所以∠ACE=90°-∠DCE=90°-30°=60°,所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=60°+90°=150°.
(3)∠ACB+∠DCE=180°.理由如下:因为∠ACB=∠BCE+∠ACE,所以∠ACB+∠DCE=∠BCE+(∠ACE+∠DCE)=∠BCE+∠ACD=180°.
(4)成立.

16. (12 分)如图,已知 $ AM // BN $,点 $ P $ 是射线 $ AM $ 上一动点(与点 $ A $ 不重合), $ BC,BD $ 分别平分 $ \angle ABP $ 和 $ \angle PBN $,分别交射线 $ AM $ 于点 $ C,D $,且 $ \angle CBD = 60^{\circ} $.
(1)求 $ \angle A $ 的度数.
(2)当点 $ P $ 运动时, $ \angle APB $ 与 $ \angle ADB $ 之间的数量关系是否随之发生变化? 若不变化,请写出它们之间的关系,并说明理由;若变化,请写出变化规律.
(3)当点 $ P $ 运动到使 $ \angle ACB = \angle ABD $ 时,求 $ \angle ABC $ 的度数.

答案：
(1)因为BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,所以∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABP,∠DBP=$\frac{1}{2}$∠NBP,所以∠ABN=2∠CBD.又因为∠CBD=60°,所以∠ABN=120°.因为AM//BN,所以∠A+∠ABN=180°,所以∠A=60°.
(2)不变化,∠APB=2∠ADB.因为AM//BN,所以∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN.又因为BD平分∠PBN,所以∠PBN=2∠DBN,所以∠APB=2∠ADB.
(3)因为AD//BN,所以∠ACB=∠CBN.又因为∠ACB=∠ABD,所以∠CBN=∠ABD,所以∠ABC=∠DBN.由
(1)可得,∠CBD=60°,∠ABN=120°,所以∠ABC=$\frac{1}{2}$×(120°-60°)=30°.

17. (14 分)如图,平面内一定点 $ A $ 在直线 $ EF $ 的上方,点 $ O $ 为直线 $ EF $ 上一动点,作射线 $ OA,OP,OA' $,当点 $ O $ 在直线 $ EF $ 上运动时,始终保持 $ \angle EOP = 90^{\circ}, \angle AOP = \angle A'OP $,将射线 $ OA $ 绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 60^{\circ} $得到射线 $ OB $.
(1)如图,当点 $ O $ 运动到使点 $ A $ 在射线 $ OP $ 的左侧时,若 $ OA' $ 平分 $ \angle POB $,求 $ \angle BOF $ 的度数;
(2)当点 $ O $ 运动到某一时刻时, $ \angle A'OB = 130^{\circ} $,求 $ \angle BOP $ 的度数.

答案：

(1)因为OA'平分∠POB,所以设∠POA'=∠A'OB=x.因为∠AOP=∠A'OP,所以∠AOB=3x.因为∠AOB=60°,所以3x=60°,所以x=20°,所以∠BOF=90°-2x=50°.
(2)①如图①,当∠A'OB=130°时,由图可得∠A'OA=∠A'OB-∠AOB=130°-60°=70°.因为∠AOP=∠A'OP,所以∠AOP=35°,所以∠BOP=60°+35°=95°.
②如图②,当∠A'OB=130°时,可得∠A'OA=360°-130°-60°=170°.又因为∠AOP=∠A'OP,所以∠AOP=85°,所以∠BOP=60°+85°=145°.综上所述,∠BOP的度数为95°或145°.