《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

24. (10分)如图,已知AB// CD,现将一直角三角形PMN放入图中,其中∠P= 90°,PM交AB于点E,PN交CD于点F.
(1)当△PMN所放位置如图①所示时,∠PFD与∠AEM的数量关系为∠PFD+∠AEM=90°;
(2)当△PMN所放位置如图②所示时,试说明:∠PFD-∠AEM= 90°;
如图②,因为AB//CD,所以∠PFD+∠1=180°.因为∠P=90°,∠PHE=∠1,所以∠1+∠2=90°.因为∠2=∠AEM,所以∠1=∠PHE=90°−∠AEM,所以∠PFD+90°−∠AEM=180°,所以∠PFD−∠AEM=90°.
(3)在(2)的条件下,若MN与CD交于点O,且∠DON= 30°,∠PEB= 15°,求∠N的度数.
如图③,因为∠P=90°,∠PEB=15°,所以∠PHE=90°−∠PEB=90°−15°=75°.因为AB//CD,所以∠PFC=∠PHE=75°.因为∠PFC+∠NFC=180°,∠N+∠DON+∠NFC=180°,所以∠PFC=∠N+∠DON,所以∠N=∠PFC−∠DON=75°−30°=45°.

答案：
(1)∠PFD+∠AEM=90°
(2)如图②,因为AB//CD,所以∠PFD+∠1=180°.因为∠P=90°,∠PHE=∠1,所以∠1+∠2=90°.因为∠2=∠AEM,所以∠1=∠PHE=90°−∠AEM,所以∠PFD+90°−∠AEM=180°,所以∠PFD−∠AEM=90°.
(3)如图③,因为∠P=90°,∠PEB=15°,所以∠PHE=90°−∠PEB=90°−15°=75°.因为AB//CD,所以∠PFC=∠PHE=75°.因为∠PFC+∠NFC=180°,∠N+∠DON+∠NFC=180°,所以∠PFC=∠N+∠DON,所以∠N=∠PFC−∠DON=75°−30°=45°.

25. (10分)(2025·淮安期中)如图①,已知三角形ABC与三角形ADE摆放在一起,点A,C,E在同一直线上,其中∠ACB= 30°,∠DAE= 45°,∠BAC= ∠D= 90°.如图②,固定三角形ABC,将三角形ADE绕点A按顺时针方向旋转,记旋转角∠CAE= α(0°＜α＜180°).
(1)当∠CAD= 10°时,α= 35或55°.
(2)在旋转过程中,试探究∠CAD与∠BAE之间的关系:
①当0°＜α≤45°时,∠BAE=∠CAD+45°;
②当45°＜α≤90°时,∠CAD+∠BAE=45°;
③当90°＜α＜180°时,∠CAD=∠BAE+45°.
(3)当三角形ADE的一边与三角形ABC的某一边平行(不共线)时,直接写出旋转角α所有可能的度数.
α的度数为15°或45°或105°或135°或150°.

答案：
(1)35或55
(2)①∠BAE=∠CAD+45°
②∠CAD+∠BAE=45°
③∠CAD=∠BAE+45°
(3)α的度数为15°或45°或105°或135°或150°.