《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

13. 有一种能得到数a符号的运算$sgn(a)$,当$a＞0$时,$sgn(a)= 1$;当$a= 0$时,$sgn(a)= 0$;当$a＜0$时,$sgn(a)= -1$.例如,$sgn(+3)= 1,sgn(-5)= -1$.
(1)计算:$sgn(-3)= $-1;
(2)如图,数轴上点A,B表示的数分别为-2,3,点P在数轴上移动,点P表示的数为x,求$sgn(x+2)+sgn(x-3)$的值.

根据题意可知，需要分情况讨论.当$x＜-2$时，$x + 2＜0$，$x - 3＜0$，所以$sgn(x + 2)+sgn(x - 3)=-1+(-1)=-2$.当$x=-2$时，$x + 2=0$，$x - 3＜0$，所以$sgn(x + 2)+sgn(x - 3)=0+(-1)=-1$.当$-2＜x＜3$时，$x + 2＞0$且$x - 3＜0$，所以$sgn(x + 2)+sgn(x - 3)=1+(-1)=0$.当$x = 3$时，$x + 2＞0$，$x - 3=0$，所以$sgn(x + 2)+sgn(x - 3)=1+0=1$.当$x＞3$时，$x + 2＞0$，$x - 3＞0$，所以$sgn(x + 2)+sgn(x - 3)=1+1=2$.综上可知，当$x＜-2$时，$sgn(x + 2)+sgn(x - 3)=-2$；当$x=-2$时，$sgn(x + 2)+sgn(x - 3)=-1$；当$-2＜x＜3$时，$sgn(x + 2)+sgn(x - 3)=0$；当$x = 3$时，$sgn(x + 2)+sgn(x - 3)=1$；当$x＞3$时，$sgn(x + 2)+sgn(x - 3)=2$.

答案：
(1)-1
(2)根据题意可知，需要分情况讨论.当$x＜-2$时，$x + 2＜0$，$x - 3＜0$，所以$sgn(x + 2)+sgn(x - 3)=-1+(-1)=-2$.当$x=-2$时，$x + 2=0$，$x - 3＜0$，所以$sgn(x + 2)+sgn(x - 3)=0+(-1)=-1$.当$-2＜x＜3$时，$x + 2＞0$且$x - 3＜0$，所以$sgn(x + 2)+sgn(x - 3)=1+(-1)=0$.当$x = 3$时，$x + 2＞0$，$x - 3=0$，所以$sgn(x + 2)+sgn(x - 3)=1+0=1$.当$x＞3$时，$x + 2＞0$，$x - 3＞0$，所以$sgn(x + 2)+sgn(x - 3)=1+1=2$.综上可知，当$x＜-2$时，$sgn(x + 2)+sgn(x - 3)=-2$；当$x=-2$时，$sgn(x + 2)+sgn(x - 3)=-1$；当$-2＜x＜3$时，$sgn(x + 2)+sgn(x - 3)=0$；当$x = 3$时，$sgn(x +\cdot 2)+sgn(x - 3)=1$；当$x＞3$时，$sgn(x + 2)+sgn(x - 3)=2$.

14. (2024·扬州校级期末)对于整数m,n,定义一种新的运算“$\odot $”:当$m+n$为偶数时,规定$m\odot n= 2|m+n|+|m-n|$;当$m+n$为奇数时,规定$m\odot n= 2|m+n|-|m-n|$.
(1)当$m= 2,n= 4$时,求$m\odot n$的值;
(2)已知a,b为正整数,$(a-b)\odot (a+b-1)= 7$,求式子$3(a-b)+a+b-8$的值;
(3)已知a为正整数,且满足$(a\odot a)\odot a= 180-5a$,求a的值.

答案：
(1)因为$m = 2$，$n = 4$，所以$m + n=6$，所以$m⊙n=2|m + n|+|m - n|=2×|2 + 4|+|2 - 4|=2×6 + 2=12 + 2=14$.
(2)因为$a - b + a + b - 1=2a - 1$，$a$为正整数，所以$2a - 1$必为奇数.因为$(a - b)⊙(a + b - 1)=7$，$a,b$为正整数，所以$2|a - b + a + b - 1|-|a - b-(a + b - 1)|=7$，即$2|2a - 1|-|-2b + 1|=7$，$2(2a - 1)-2b + 1=7$，$4a - 2 - 2b + 1=7$，$4a - 2b=8$，所以$3(a - b)+a + b - 8=3a - 3b + a + b - 8=4a - 2b - 8=8 - 8=0$.
(3)因为$a + a=2a$，必为偶数，所以$a⊙a=2|a + a|+|a - a|=4a$.所以当$a$为偶数时，$4a + a=5a$也为偶数.因为$(a⊙a)⊙a=180 - 5a$，所以$(4a)⊙a=180 - 5a$，即$2|4a + a|+|4a - a|=180 - 5a$，$10a + 3a=180 - 5a$，解得$a = 10$.当$a$为奇数时，$4a + a=5a$也为奇数.因为$(a⊙a)⊙a=180 - 5a$，所以$(4a)⊙a=180 - 5a$，即$2|4a + a|-|4a - a|=180 - 5a$，$10a - 3a=180 - 5a$，解得$a = 15$.综上所述，$a$的值为10或15.