《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

26. (10 分)阅读下面材料,回答问题:
已知点 $A,B$ 在数轴上分别表示有理数 $a,b$,$A,B$ 两点之间的距离表示为 $AB$.
当 $A,B$ 两点中有一点在原点时,不妨设点 $A$ 在原点,如图①,$AB = OB = |b| - |a| = b - a = |a - b|$.
当 $A,B$ 两点都不在原点时,
①如图②,点 $A,B$ 都在原点的右边,$AB = OB - OA = |b| - |a| = b - a = |a - b|$;
②如图③,点 $A,B$ 都在原点的左边,$AB = OB - OA = |b| - |a| = -b - (-a) = a - b = |a - b|$;
③如图④,点 $A,B$ 在原点的两边,$AB = OA + OB = |a| + |b| = a + (-b) = a - b = |a - b|$.
综上所述,数轴上 $A,B$ 两点的距离 $AB = |a - b|$,如数轴上表示数 4 和 -1 的两点之间的距离是 5.
利用上述结论,回答以下问题:
(1)若表示数 $a$ 和 -3 的两点之间的距离是 5,那么 $a = $ ______2或-8;
(2)若数轴上表示数 $a$ 的点位于表示数 -1 与 8 的两点之间,则 $|a + 1| + |a - 8|$ 的值为 ______9;
(3)若 $x$ 表示一个有理数,且 $|x - 2| + |x + 4| = 8$,则有理数 $x$ 的值为 ______-5或3;
(4)若有理数 $x,y$ 满足 $(|x - 4| + |x + 3|)(|y + 2| + |y - 2|) = 28$,求 $x + y$ 的最小值和最大值.
$x + y$的最小值是-5，最大值是6

答案： 【解析】：
(1) 根据题目中给出的数轴上两点间的距离公式$AB = |a - b|$，我们可以将$a$和$-3$代入公式，得到$|a - (-3)| = 5$，即$|a + 3| = 5$。
这个方程表示$a + 3$的绝对值等于5，根据绝对值的定义，我们可以得到两个方程：$a + 3 = 5$或$a + 3 = -5$。
解这两个方程，我们可以得到$a = 2$或$a = -8$。
(2) 题目中给出数轴上表示数$a$的点位于表示数$-1$与$8$的两点之间，即$-1 ＜ a ＜ 8$。
根据这个条件，我们可以判断$a + 1$和$a - 8$的符号。
由于$a ＞ -1$，所以$a + 1 ＞ 0$；由于$a ＜ 8$，所以$a - 8 ＜ 0$。
因此，$|a + 1| = a + 1$，$|a - 8| = 8 - a$。
所以，$|a + 1| + |a - 8| = (a + 1) + (8 - a) = 9$。
(3) 题目中给出$|x - 2| + |x + 4| = 8$，我们需要找出满足这个条件的$x$的值。
首先，我们可以根据$x$的取值范围，分别讨论$|x - 2|$和$|x + 4|$的表达式。
当$x ＜ -4$时，$x - 2 ＜ 0$且$x + 4 ＜ 0$，所以$|x - 2| = 2 - x$，$|x + 4| = -x - 4$。
代入原方程，得到$2 - x - x - 4 = 8$，解得$x = -5$。
当$-4 \leq x ＜ 2$时，$x - 2 ＜ 0$且$x + 4 \geq 0$，所以$|x - 2| = 2 - x$，$|x + 4| = x + 4$。
代入原方程，得到$2 - x + x + 4 = 6 ＜ 8$，在这个范围内无解。
当$x \geq 2$时，$x - 2 \geq 0$且$x + 4 \geq 0$，所以$|x - 2| = x - 2$，$|x + 4| = x + 4$。
代入原方程，得到$x - 2 + x + 4 = 8$，解得$x = 3$。
(4)
首先分析$(|x - 4| + |x + 3|)(|y + 2| + |y - 2|) = 28$。
对于$|x - 4| + |x + 3|$：
当$x ＜ -3$时，$|x - 4| + |x + 3| = 4 - x - x - 3 = 1 - 2x$，此时$1 - 2x ＞ 7$。
当$-3 \leq x \leq 4$时，$|x - 4| + |x + 3| = 4 - x + x + 3 = 7$。
当$x ＞ 4$时，$|x - 4| + |x + 3| = x - 4 + x + 3 = 2x - 1$，此时$2x - 1 ＞ 7$。
对于$|y + 2| + |y - 2|$：
当$y ＜ -2$时，$|y + 2| + |y - 2| = -y - 2 - y + 2 = -2y$，此时$-2y ＞ 4$。
当$-2 \leq y \leq 2$时，$|y + 2| + |y - 2| = y + 2 - y + 2 = 4$。
当$y ＞ 2$时，$|y + 2| + |y - 2| = y + 2 + y - 2 = 2y$，此时$2y ＞ 4$。
由于$(|x - 4| + |x + 3|)(|y + 2| + |y - 2|) = 28$，且$|x - 4| + |x + 3|$和$|y + 2| + |y - 2|$的取值范围已知，我们可以得出以下结论：
当$|x - 4| + |x + 3| = 7$且$|y + 2| + |y - 2| = 4$时，乘积为28。
这意味着$x$的取值范围是$-3 \leq x \leq 4$，$y$的取值范围是$-2 \leq y \leq 2$。
因此，$x + y$的最小值是$-3 + (-2) = -5$，最大值是$4 + 2 = 6$。
【答案】：
(1) $a = 2$或$a = -8$
(2) 9
(3) $x = -5$或$x = 3$
(4) $x + y$的最小值是$-5$，最大值是$6$