《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

23. (8 分) 在整式的加减练习课中, 已知 $A= a^2 b-2 a b^2$, 小江同学错将 “ $3 A-B$ ” 看成 “ $3 A+B$ ”, 算得错误结果是 $2 a^2 b-3 a b^2$. 请你解决以下问题:
(1) 求出整式 $B$.
(2) 求 $3 A-B$ 的正确计算结果.
(3) 若增加条件: $a, b$ 满足 $|a-2|+(b-1)^2= 0$, 你能求出 (2) 中代数式的值吗? 如果能, 请求出最后的值; 如果不能, 请说明理由.

答案：
(1)由题意,得$ B=2a^{2}b-3ab^{2}-3A=2a^{2}b-3ab^{2}-3(a^{2}b-2ab^{2})=2a^{2}b-3ab^{2}-3a^{2}b+6ab^{2}=-a^{2}b+3ab^{2} $;
(2)$ 3A-B=3(a^{2}b-2ab^{2})-(-a^{2}b+3ab^{2})=3a^{2}b-6ab^{2}+a^{2}b-3ab^{2}=4a^{2}b-9ab^{2} $;
(3)能.由a,b满足$ |a-2|+(b-1)^{2}=0 $,可得$ a=2 $,$ b=1 $,把$ a=2 $,$ b=1 $代入$ 4a^{2}b-9ab^{2} $,得原式$ =4×2^{2}×1-9×2×1^{2}=16-18=-2 $.

24. (8 分) 新考法 (2024·南京期中) 如图, 我们可以将一个大正方形分割成 4 个或 6 个小正方形 (注: 分割的要求是 “不重叠无剩余” ——这些小正方形互不重叠, 且面积之和恰为最大的正方形的面积).
(1) 小明想: “我可以在图(1)的基础上将一个大正方形分割成 7 个小正方形. ” 小红想: “我可以类比图(2)将一个大正方形分割成 8 个小正方形. ” 请你将他们的想法画出来. (画图工具不限)
(2) 用两种不同的方法将一个大正方形分割成 9 个小正方形. (画图工具不限)
(3) 能否将一个大正方形分割成 $n$ ( $n$ 为正整数, $n \geqslant 10$ ) 个小正方形? 说明理由.

答案：

(1)分割方式不唯一,如图.
　　　　　　　 　　　　
(2)分割方式不唯一,如图
　　　　　　　 　　　　
(3)由上述讨论知,当$ n=6 $,7,8时,可完成分割,因为任意一个正方形可以分割成4个小正方形，即可以将正方形的个数增加3个,所以当$ n=9,10,11 $时,可完成分割
　　以此类推,当$ n=3k,3k+1,3k+2(k为正整数,k≥4) $时,一定可以完成分割，
　　所以当$ n≥10 $且n为正整数时,可将一个大正方形分割成n(n为正整数,n≥10)个小正方形