《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

26. (12分)(2025·宿迁校级期中)如图,直线 $ PQ // MN $,在一副三角尺 $ \triangle ABC, \triangle DEF $ 中,$ \angle EDF = 90^{\circ} $,$ \angle ABC = \angle BAC = 45^{\circ} $,$ \angle DEF = 60^{\circ} $,$ \angle DFE = 30^{\circ} $.
(1)若将三角尺 $ \triangle DEF $ 如图①摆放,当 $ ED $ 平分 $ \angle PEF $ 时,则 $ \angle DFM = $____.
(2)若将三角尺 $ \triangle DEF $ 和三角尺 $ \triangle ABC $ 如图②摆放,$ \triangle DEF $ 的顶点 $ D $ 恰好落在直线 $ PQ $ 上,三角尺 $ \triangle ABC $ 的一边在直线 $ MN $ 上,且边 $ EF $ 与边 $ AC $ 在同一直线上,作 $ \angle QDF $ 和 $ \angle DFA $ 的平分线交于点 $ H $,求 $ \angle DHF $ 的度数.
(3)若图②中三角尺 $ \triangle EDF $ 固定,将三角尺 $ \triangle ABC $ 绕点 $ A $ 按顺时针方向旋转(如图③),旋转到 $ AC $ 边与直线 $ AN $ 首次重合时停止旋转.在这旋转的过程中,当边 $ BC $ 与三角尺 $ \triangle DEF $ 的一边平行时,请直接写出 $ \angle BAN $ 的度数.

答案：

(1)30°　　[解析]因为ED平分∠PEF,∠DEF=60°,所以∠PED=∠DEF=60°,∠PEF=∠PED+∠DEF=60°+60°=120°.因为PQ//MN，所以∠MFE=180°−∠PEF=180°−120°=60°.因为∠DFE=30°,所以∠DFM=∠EFM−∠DFE=30°.　　
(2)过点H作HR//PQ交DF于点R,过点F作FL//MN,如图①,设∠QDH=α,∠HFL=β.因为DH平分∠QDF,所以∠QDH=∠FDH=α,∠QDF=2∠QDH=2α.因为PQ//MN,HR//PQ,FL//MN,所以PQ//HR//FL//MN,所以∠DHR=∠QDH=α,∠RHF=∠HFL=β,∠FLA=∠BAC=45°,∠QDF+∠DFL=180°,所以∠HFA=∠HFL+∠FLA=β+45°,所以∠DHF=∠DHR+∠RHF=α+β.因为FH平分∠DFA,所以∠DFH=∠HFA=β+45°,所以∠DFL=∠DFH+∠HFL=β+45°+β=2β+45°,所以2α+2β+45°=180°,所以α+β=67.5°,所以∠DHF=α+β=67.5°.　　　　　
(3)∠BAN的度数为150°或90°或60°.　　[解析]分三种情况:当BC//DE时,如图②,此时AC//DF,所以∠CAE=∠DFE=30°.因为∠EAM=∠CAB=45°,所以∠BAM=∠CAE=30°,所以∠BAN=180°−∠BAM=150°.②当BC//EF时,如图③,此时∠BAE=∠B=45°，所以∠BAN=180°−∠BAE−∠EAM=90°.　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③当BC//DF时,如图④,延长BC交MN于点K,延长DF交MN于点R,因为∠DFE=∠AFR,所以易得∠DRM=∠EAM+∠AFR=45°+30°=75°,所以∠BKA=∠DRM=75°,所以∠BAN=180°−∠B−∠BKA=60°.综上所述，∠BAN的度数为150°或90°或60°.