《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

21. (8分)某同学的茶杯是圆柱形,如图①所示,有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处,如果蚂蚁爬行的路线最短,请利用展开图画岀这条最短路线.
解:将圆柱的侧面展开成一个长方形,如图②所示,则A,B分别位于图②中所示的位置,连接AB,AB就是这条最短路线.
问题:一个正方体放在桌面上,如图③,有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处,如果蚂蚁爬行的路线最短,这样的路线有几条?请利用展开图画岀最短路线.

答案： 将正方体的侧面展开，连接线段AM，经过测量比较可知，最短路线有两条，如图所示

22. (8分)如图,在直角三角形ABC中,边AC长4cm,边BC长3cm,边AB长5cm.
(1)三角形绕着边AC旋转一周所得几何体的体积和绕着边BC旋转一周所得几何体的体积是否一样?通过计算说明.(圆锥的体积= $\frac{1}{3}\pi r^{2}h$,r为底面半径,h为高)
(2)若绕着边AB旋转一周,所得几何体的体积是多少?

答案：
(1)三角形绕着边AC旋转一周，所得几何体的体积是$\frac{1}{3}\pi×3^2×4=12\pi$($\text{cm}^3$)；三角形绕着边BC旋转一周，所得几何体的体积是$\frac{1}{3}\pi×4^2×3=16\pi$($\text{cm}^3$)，$12\pi\neq16\pi$，所以三角形绕着边AC旋转一周所得几何体的体积和绕着边BC旋转一周所得几何体的体积不一样.
(2)如图，过点C作CD⊥AB于点D，因为AC=4cm，BC=3cm，AB=5cm，$\angle ACB=90^\circ$，所以根据直角三角形ABC的面积可得CD=$\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{12}{5}$(cm). 因为绕直角三角形斜边所在直线旋转一周所形成的几何体是两个共底面的圆锥，两个圆锥的高分别为AD，BD，底面圆的半径为CD=$\frac{12}{5}$cm，所以该几何体的体积是$V=\frac{1}{3}\pi r^2(AD+BD)=\frac{1}{3}×(\frac{12}{5})^2\pi×5=\frac{48}{5}\pi$($\text{cm}^3$).

23. (8分)如图①,从大正方体上截去一个小正方体之后,可以得到图②的几何体.
(1)设图①中原大正方体的表面积为S,图②中几何体的表面积为$S_1,$那么$S_1$与S的大小关系是B.
$A. S_1＞S$
$B. S_1= S$
$C. S_1＜S$
D. 无法确定
(2)若大正方体的棱长为4cm,从它的右上方截去一个棱长分别为4cm,2cm,1cm的长方体(如图③),求剩下部分的表面积.4×4×6-1×2×2=96-4=92($\text{cm}^2$). 所以剩下部分的表面积是92$\text{cm}^2$.
(3)如果截去的小正方体的棱长为大正方体棱长的一半,请画出该几何体的表面展开图.如图所示

答案：
(1)B
(2)4×4×6-1×2×2=96-4=92($\text{cm}^2$). 所以剩下部分的表面积是92$\text{cm}^2$.
(3)如图所示