《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

22. (2024·盐城期末)【材料阅读】
如图①,数轴上有三个点A,B,C,表示的数分别是-7,-1,1.
(1)若要使A,B两点的距离与C,B两点的距离相等,则可将点B向左移动3个单位长度.
(2)若动点P,Q分别从点A、点B出发,以每秒5个单位长度和每秒4个单位长度的速度向左匀速运动,动点R从点C出发,以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动,点P,Q,R同时出发,设运动时间为t秒.
①t秒后,点P,Q,R表示的数分别为-7-5t,-1-4t,1+2t.(用含t的代数式表示)
②记点P与点Q之间的距离为d,点Q与点R之间的距离为m,则$3d-\frac{1}{2}m$的值是否有变化？若无变化,请求出这个值；若有变化,请说明理由.
解：d=|(-7-5t)-(-1-4t)|=| -6 -t |，因为t≥0，所以d=t+6
m=|(1+2t)-(-1-4t)|=|2+6t|=6t+2
3d-1/2m=3(t+6)-1/2(6t+2)=3t+18-3t-1=17，值不变，为17
【方法迁移】
如图②,$∠AOB = 150^{\circ}$,OC平分$∠AOB$.现有射线OP,OQ分别从OC,OB同时出发,以每秒$15^{\circ}和每秒10^{\circ}$的速度绕点O顺时针旋转,当OP旋转一周时,这两条射线都停止旋转.问经过几秒后,射线OP,OQ的夹角为$30^{\circ}$？
解：∠AOB=150°，OC平分∠AOB，所以∠BOC=75°
t秒后，OP转过15t°，OQ转过10t°
OP与OC夹角为15t°，OQ与OB夹角为10t°
OP与OQ夹角：|(75°+10t°)-15t°|=|75°-5t°|
当|75-5t|=30时，75-5t=30或75-5t=-30
解得t=9或t=21
OP旋转一周时间：360°÷15°/s=24s，t=21＜24，成立
所以t=9或21
【生活运用】
周末的下午,小明看到钟面显示3点整,此时分针与时针的夹角恰好为$90^{\circ}$,经过70/11分钟后,分针与时针的夹角首次变成$55^{\circ}$.

答案：
(1) 3
(2)①-7-5t；-1-4t；1+2t
②解：d=|(-7-5t)-(-1-4t)|=| -6 -t |，因为t≥0，所以d=t+6
m=|(1+2t)-(-1-4t)|=|2+6t|=6t+2
3d-1/2m=3(t+6)-1/2(6t+2)=3t+18-3t-1=17，值不变，为17
【方法迁移】解：∠AOB=150°，OC平分∠AOB，所以∠BOC=75°
t秒后，OP转过15t°，OQ转过10t°
OP与OC夹角为15t°，OQ与OB夹角为10t°
OP与OQ夹角：|(75°+10t°)-15t°|=|75°-5t°|
当|75-5t|=30时，75-5t=30或75-5t=-30
解得t=9或t=21
OP旋转一周时间：360°÷15°/s=24s，t=21＜24，成立
所以t=9或21
【生活运用】解：时针速度0.5°/分，分针速度6°/分
设经过x分钟，夹角为55°
|90°-6x°+0.5x°|=55°
|90-5.5x|=55
90-5.5x=55或90-5.5x=-55
5.5x=35或5.5x=145
x=70/11或x=290/11
首次变成55°，x=70/11