《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

26. (10分)综合与实践:
【提出问题】
有两个相同的长方体纸盒,它们的长、宽、高分别是16cm、6cm、2cm,现要用这两个纸盒搭成一个大长方体,怎样搭可使长方体的表面积最小?
实践操作:我们发现,无论怎样放置这两个长方体纸盒,搭成的大长方体体积都不变,但是由于摆放位置的不同,它们的表面积会发生变化,经过操作,发现共有3种不同的摆放方式,如图所示:

【探究结论】
(1)请计算图①、图②、图③中的大长方体的长、宽、高及其表面积,并填表:

长(cm) 宽(cm) 高(cm) 表面积($\text{cm}^2$)
图① 16 6 4 368
图② 32 6 2 536
图③ 16 12 2 496
根据上表可知,表面积最小的是图①所示的长方体.(填“图①”“图②”或“图③”)
【解决问题】
(2)现在有4个小长方体纸盒,每个的长、宽、高都分别是a,b,c,a＞2b且b＞2c,若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体,共有6($a\neq3b$且$b\neq3c$)或7($a=3b$或$b=3c$)或8($a=3b$且$b=3c$)种不同的方式,搭成的大长方体的表面积最小为$2ab+8ac+8bc$$cm^2$(用含a,b,c的代数式表示).请简单说明理由.
【实践应用】
(3)春节将至,小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒,商家准备将所有礼盒打成一个包裹寄走.下图是从三个方向看到的小张定制的礼盒的三个视图(阴影),请帮忙计算打包用的包装纸最少要用多少平方米呢?(接头处忽略不计)

根据三视图可得礼盒的长、宽、高分别为75cm，35cm，15cm，一共有4个礼盒，要使包装的纸最少，应该把长方体最大的面重合在一起，即把75×35的面重合在一起，这样包装后的长方体，长是75cm，宽为35cm，高为15×4=60(cm)，依题意，(75×35+75×60+60×35)×2=18450($\text{cm}^2$)=1.845($\text{m}^2$)。答：最少需要1.845$\text{m}^2$包装纸。

答案：
(1)如表:长(cm) 宽(cm) 高(cm) 表面积($\text{cm}^2$)图① 16 6 4 368图② 32 6 2 536图③ 16 12 2 496 根据上表可知,表面积最小的是图①所示的长方体.
(2)6($a\neq3b$且$b\neq3c$)或7($a=3b$或$b=3c$)或8($a=3b$且$b=3c$) $2ab+8ac+8bc$ 理由:当$a\neq3b$且$b\neq3c$时,共有6种搭法,可分为两类:第一类有三种情况,表面积分别为($8ab+8ac+2bc$)$\text{cm}^2$,($8ab+2ac+8bc$)$\text{cm}^2$,($2ab+8ac+8bc$)$\text{cm}^2$;第二类有三种情况,表面积分别为($4ab+4ac+8bc$)$\text{cm}^2$,($8ab+4ac+4bc$)$\text{cm}^2$,($4ab+8ac+4bc$)$\text{cm}^2$.第三类:当$a=3b$时,表面积为($8ab+4ac+2bc$)$\text{cm}^2$;当$b=3c$时,表面积为($2ab+8ac+8bc$)$\text{cm}^2$.
(3)根据三视图可得礼盒的长、宽、高分别为75cm,35cm,15cm,一共有4个礼盒,要使包装的纸最少,应该把长方体最大的面重合在一起,即把75×35的面重合在一起,这样包装后的长方体,长是75cm,宽为35cm,高为15×4=60(cm),依题意,(75×35+75×60+60×35)×2=18450($\text{cm}^2$)=1.845($\text{m}^2$).答:最少需要1.845$\text{m}^2$包装纸.