《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

26. (12分)(2025·连云港校级期中)如图,一副三角板最初按图①的方式放置,两个三角板的直角顶点A重合,点E落在边AB上,$∠BAC= ∠DAE= 90^{\circ },∠CAD= 180^{\circ }$(本题中所有的角均小于或等于$180^{\circ }$).
(1)如图②,若将三角板ABC绕A以每秒$4^{\circ }$的速度顺时针旋转,而三角板ADE保持静止不动,第5秒时,$∠BAE$的度数为20$^{\circ },∠CAD$的度数为160$^{\circ }$,此时$∠BAE+∠CAD= $180$^{\circ }$.
(2)若将三角板ABC绕点A顺时针旋转一周后停止,把旋转角记为α,而三角板ADE保持静止不动,则(1)中$∠BAE和∠CAD$的数量关系是否始终成立? 请画出图形并说明理由.
①
②

成立,理由如下,设三角板ABC绕点A顺时针旋转α(0°≤α≤360°),情况1,当0°≤α≤180°时,如图②,∠BAE=α,∠CAD=∠BAC+∠DAE−∠BAE.因为∠BAC=∠DAE=90°,所以∠CAD=90°+90°−α=180°−α,所以∠BAE+∠CAD=α+(180°−α)=180°.情况2,当180°＜α≤360°时,如图③,∠BAE+∠CAD=360°−∠BAC−∠DAE=360°−90°−90°=180°；所以(1)中∠BAE+∠CAD=180°始终成立.
(3)若将三角板ABC绕点A以每秒$4^{\circ }$的速度顺时针旋转的同时,将三角板ADE以每秒$4.5^{\circ }$的速度逆时针旋转,两个三角板均在旋转一周后停止,则第几秒时$∠BAE= \frac {1}{2}∠CAD$? (直接写出答案即可)
第120/17秒或600/17秒

答案：
(1)20 160 180
(2)成立,理由如下,设三角板ABC绕点A顺时针旋转α(0°≤α≤360°),情况1,当0°≤α≤180°时,如图②,∠BAE=α,∠CAD=∠BAC+∠DAE−∠BAE.因为∠BAC=∠DAE=90°,所以∠CAD=90°+90°−α=180°−α,所以∠BAE+∠CAD=α+(180°−α)=180°.情况2,当180°＜α≤360°时,如图③,∠BAE+∠CAD=360°−∠BAC−∠DAE=360°−90°−90°=180°；所以
(1)中∠BAE+∠CAD=180°始终成立.
(3)第120/17秒或600/17秒