《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

26. (12分)新题型新定义(2025·连云港期末)如图①,射线OM,ON,OP在同一个平面内,则图中共有三个角∠MON,∠MOP,∠NOP,其中每个角都是小于180°的角.设∠MOP+∠NOP= m∠MON.
(1)若m= 2时,则称射线OP为∠MON的“倍比线”.
①若射线OP为∠MON的“倍比线”,且∠MON= 60°,∠MOP＞∠NOP,则∠NOP= ____30°;
②如图②,若∠MON= 80°,射线OP从OM出发,绕点O以每秒20°的速度按逆时针方向旋转,旋转一周至OM时停止,设旋转的时间为t(s),当t= ____6或16s时,射线OP是∠MON的“倍比线”;
③在②的条件下,如图③,射线OQ从ON出发,绕点O以每秒40°的速度按顺时针方向旋转,射线OP,OQ同时旋转,当OQ旋转一周至ON时,射线OP,OQ同时停止运动,设旋转的时间为t(s),求当t为何值时,射线OP是∠MOQ的“倍比线”.
当0＜t＜2时,如图⑤,
由题意得:∠MOP=20°t,∠NOQ=40°t,所以∠MOQ=∠MON−∠NOQ=80°−40°t,∠POQ=∠MOP−∠MOQ=20°t−(80°−40°t)=60°t−80°.因为射线OP是∠MOQ的“倍比线”,所以∠MOP+∠POQ=2∠MOQ,所以20°t+60°t−80°=2(80°−40°t),解得t=$\frac{3}{2}$;
当2＜t＜$\frac{13}{3}$时,如图⑥,
由题意得:∠MOP=20°t,∠NOQ=40°t,所以∠MOQ=∠NOQ−∠MON=40°t−80°,∠POQ=∠MOP+∠MOQ=20°t+(40°t−80°)=60°t−80°.因为射线OP是∠MOQ的“倍比线”,所以∠MOP+∠POQ=2∠MOQ,所以20°t+60°t−80°=2(40°t−80°).此方程无解;
当$\frac{13}{3}$＜t＜$\frac{13}{2}$时,如图⑦,
由题意得:∠MOP=20°t,∠NOQ=40°t,所以∠MOQ=∠NOQ−∠MON=40°t−80°,∠POQ=360°−∠MOP−∠MOQ=360°−20°t−(40°t−80°)=440°−60°t.因为射线OP是∠MOQ的“倍比线”,所以∠MOP+∠POQ=2∠MOQ,所以20°t+440°−60°t=2(40°t−80°),解得t=5;
当$\frac{13}{2}$＜t＜9时,如图⑧
由题意得:∠MOP=20°t,∠NOQ=40°t,所以∠MOQ=∠NOQ−∠MON=440°−40°t,∠POQ=∠MOP−∠MOQ=20°t−(440°−40°t)=60°t−440°.因为射线OP是∠MOQ的“倍比线”,所以∠MOP+∠POQ=2∠MOQ,所以20°t+60°t−440°=2(440°−40°t).解得t=$\frac{33}{4}$.
综上所述，t的值为$\frac{3}{2}$或5或$\frac{33}{4}$.
(2)如图④,在同一个平面内,∠MON= 40°,∠AOB= 100°,射线OP在∠AOB内部或边上.将射线OP关于∠MON的所有可能的m的最小值记为m_min,当∠AOB在平面内绕点O转动时,m_min的最大值为____6.

答案：
(1)①30°
②6或16
③当0＜t＜2时,如图⑤,
由题意得:∠MOP=20°t,∠NOQ=40°t,所以∠MOQ=∠MON−∠NOQ=80°−40°t,∠POQ=∠MOP−∠MOQ=20°t−(80°−40°t)=60°t−80°.因为射线OP是∠MOQ的“倍比线”,所以∠MOP+∠POQ=2∠MOQ,所以20°t+60°t−80°=2(80°−40°t),解得t=$\frac{3}{2}$;
当2＜t＜$\frac{13}{3}$时,如图⑥,
由题意得:∠MOP=20°t,∠NOQ=40°t,所以∠MOQ=∠NOQ−∠MON=40°t−80°,∠POQ=∠MOP+∠MOQ=20°t+(40°t−80°)=60°t−80°.因为射线OP是∠MOQ的“倍比线”,所以∠MOP+∠POQ=2∠MOQ,所以20°t+60°t−80°=2(40°t−80°).此方程无解;
当$\frac{13}{3}$＜t＜$\frac{13}{2}$时,如图⑦,
由题意得:∠MOP=20°t,∠NOQ=40°t,所以∠MOQ=∠NOQ−∠MON=40°t−80°,∠POQ=360°−∠MOP−∠MOQ=360°−20°t−(40°t−80°)=440°−60°t.因为射线OP是∠MOQ的“倍比线”,所以∠MOP+∠POQ=2∠MOQ,所以20°t+440°−60°t=2(40°t−80°),解得t=5;
当$\frac{13}{2}$＜t＜9时,如图⑧
由题意得:∠MOP=20°t,∠NOQ=360°−40°t,所以∠MOQ=∠NOQ+∠MON=440°−40°t,∠POQ=∠MOP−∠MOQ=20°t−(440°−40°t)=60°t−440°.因为射线OP是∠MOQ的“倍比线”,所以∠MOP+∠POQ=2∠MOQ,所以20°t+60°t−440°=2(440°−40°t).解得t=$\frac{33}{4}$.
综上所述，t的值为$\frac{3}{2}$或5或$\frac{33}{4}$.
(2)6