《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

1. (2025·西安校级模拟)定义一种新运算 * ,规定运算法则为$m*n= m^{n}-mn$(m,n均为整数,且$m≠0$).例：$2*3= 3^{2}-2×3= 2$,则$(-3)*3= $ (A)
A.-18
B.18
C.-36
D.36

答案： A 【解析】因为$m*n=m^{n}-mn$（$m,n$均为整数，且$m≠0$），所以$(-3)*3=(-3)^{3}-(-3)×3=-27+9=-18$.故选A.

2. 用“☆”定义一种新运算:对于任意有理数x和y,$x☆y= m^{2}x+ny-3$(m,n为常数).例如:$4☆3= m^{2}×4+n×3-3= 4m^{2}+3n-3$.若$2☆3= 3$,则$4☆6$的值为 (C)
A.7
B.8
C.9
D.10

答案： C 【解析】由题意知，$2☆3=m×2^{2}+n×3 - 3=2m^{2}+3n - 3=3$，解得$2m^{2}+3n=6$.因此$4☆6=m×4^{2}+n×6 - 3=2(2m^{2}+3n)-3=2×6 - 3=9$.故选C.

3. 定义运算:若$a^{m}= b$,则$log_{a}b= m(a＞0)$,例如$2^{3}= 8$,则$log_{2}8= 3$.运用以上定义,计算:$log_{5}125-log_{3}81= $ (A)
A.-1
B.2
C.1
D.4

答案： A 【解析】因为$5^{3}=125$，$3^{4}=81$，所以$\log_{5}125=3$，$\log_{3}81=4$，所以$\log_{5}125 - \log_{3}81=3 - 4=-1$.故选A.

4. (2024·沈阳模拟)定义一种对正整数n的“F”运算:①当n为奇数时,$F(n)= 3n+1$;②当n为偶数时,$F(n)= \frac {n}{2^{k}}$(其中k是使$F(n)$为奇数的正整数).两种运算交替进行,例如,取$n= 12$,则有$12\xrightarrow [第1次]{F②}3\xrightarrow [第2次]{F①}10\xrightarrow [第3次]{F②}5... $,按此规律继续计算,第2024次“F”运算的结果是 (D)
A.$\frac {3}{2^{2022}}$
B.37
C.1
D.4

答案： D 【解析】当$n=12$时，第1次运算结果是$\frac{12}{2^{2}}=3$，第2次运算结果是$3×3 + 1=10$，第3次运算结果是$\frac{10}{2^{1}}=5$，第4次运算结果是$3×5 + 1=16$，第5次运算结果是$\frac{16}{2^{4}}=1$，第6次运算结果是$3×1 + 1=4$，第7次运算结果是$\frac{4}{2^{2}}=1$，第8次运算结果是$3×1 + 1=4$，…，可以看出，从第5次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数是偶数时，结果是4；当次数是奇数时，结果是1.所以第2024次“F”运算的结果是4.故选D.

5. 已知“!”是一种数学运算符号,并且$1!= 1,2!= 2×1= 2,3!= 3×2×1= 6,4!= 4×3×2×1= 24,... $,若公式$C_{n}^{m}= \frac {n!}{m!(n-m)!}(n＞m)$,则$C_{12}^{5}+C_{12}^{6}= $ (B)
A.$C_{13}^{5}$
B.$C_{13}^{6}$
C.$C_{13}^{11}$
D.$C_{12}^{7}$

答案： B 【解析】根据$C^{m}_{n}=\frac{n!}{m!(n - m)!}(n＞m)$，可得$C^{5}_{12}+C^{6}_{12}=\frac{12!}{5!×7!}+\frac{12!}{6!×6!}=\frac{12!×6}{6!×7!}+\frac{12!×7}{6!×7!}=\frac{12!×13}{6!×7!}=\frac{13!}{6!×7!}=C^{6}_{13}$，故选B.

6. (2024·菏泽模拟)现定义一种新运算:$a\otimes b= ab+a-b$,如$1\otimes 3= 1×3+1-3= 1$,则$(2\otimes 5)\otimes (-4)= $-17.

答案： -17 【解析】由题意可知，$2⊗5=2×5 + 2 - 5=10 + 2 - 5=7$，则$(2⊗5)⊗(-4)=7⊗(-4)=7×(-4)+7 - (-4)=-28 + 7 + 4=-17$.

7. 规定如下两种运算：$x\otimes y= 2xy+1;x\oplus y= x+2y-1$.例如：$2\otimes 3= 2×2×3+1= 13;2\oplus 3= 2+2×3-1= 7$.若$a\otimes (4\oplus 5)$的值为79,则$3a+2[3a-2(2a-1)]$的值是 7.

答案： 7 【解析】因为$x⊗y=2xy + 1$，$x⊕y=x + 2y - 1$，$a⊗(4⊕5)$的值为79，所以$a⊗(4 + 2×5 - 1)=a⊗(4 + 10 - 1)=a⊗13=2a×13 + 1=26a + 1$，所以$26a + 1=79$，解得$a=3$，所以$3a + 2[3a - 2(2a - 1)]=3a + 2(3a - 4a + 2)=3a + 6a - 8a + 4=a + 4=3 + 4=7$.

8. 现定义运算“*”,对于任意有理数a,b满足$a*b= \left\{\begin{array}{l} 2a-b,a≥b,\\ a-2b,a＜b.\end{array} \right. 如5*3= 2×5-3= 7,\frac {1}{2}*1= \frac {1}{2}-2×1= -\frac {3}{2}$,若$x*3= 5$,则有理数x的值为4.

答案： 4 【解析】当$x≥3$时，则$x*3=2x - 3=5$，解得$x=4$；当$x＜3$时，则$x*3=x - 2×3=x - 6=5$，解得$x=11$，与$x＜3$矛盾，所以此种情况舍去.所以当$x*3=5$时，有理数$x$的值为4.

9. 符号“f”表示一种运算,运算规律如下：$f(1)= 1-\frac {1}{2},f(2)= 1-\frac {1}{3},f(3)= 1-\frac {1}{4},f(4)= 1-\frac {1}{5},... $,则$f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdot ... \cdot f(100)= $$\frac{1}{101}$.

答案： $\frac{1}{101}$ 【解析】根据题中的新定义得原式$=(1 - \frac{1}{2})×(1 - \frac{1}{3})×(1 - \frac{1}{4})×\cdots×(1 - \frac{1}{101})=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\cdots×\frac{100}{101}=\frac{1}{101}$.