《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

23. (8分)(2025·泰州期末)阅读理解:勤奋好学的小丽发明了降次小魔方,如图,可以将二次多项式降次为一次多项式.规则为:将二次多项式$M$的二次项指数与二次项系数相乘,其积作为一次多项式$N$的一次项系数,二次多项式$M的一次项系数作为一次多项式N$的常数项,二次多项式$M$的常数项变为0.如二次多项式$M = 3x^{2} + 4x + 1$经过降次小魔方后,可以降次为一次多项式$N = 6x + 4$.

理解应用:
(1)若$A = 6x^{2} - 2x + 5$,经过降次小魔方后的多项式$B = $____12x−2.
(2)若$A = 4x^{2} + 3(x - 6)$,经过降次小魔方后的多项式记为$B$,若$A - mB$的结果中不含一次项,求常数$m$的值.由题意得A=4x²+3(x−6)=4x²+3x−18,B=8x+3,因为A−mB=4x²+(3−8m)x−18−3m结果中不含一次项,所以3−8m=0,解得m=$\frac{3}{8}$.
拓展应用:
(3)若$A = (a - 2)x^{2} - (4 + b)x + 1$($a,b$为常数),经过降次小魔方后的多项式记为$B$,若方程$B = 3x + 5b$有无数个解,分别求$a,b$的值.A=(a−2)x²−(4+b)x+1,B=2(a−2)x−(4+b),又B=3x+5b,所以2(a−2)x−(4+b)=3x+5b,所以(2a−7)x=4+6b.因为方程B=3x+5b有无数个解,所以方程(2a−7)x=4+6b有无数个解,所以2a−7=0,4+6b=0,所以a=$\frac{7}{2}$,b=$-\frac{2}{3}$.

答案： 23.
(1)12x−2
(2)由题意得A=4x²+3(x−6)=4x²+3x−18,B=8x+3,因为A−mB=4x²+(3−8m)x−18−3m结果中不含一次项,所以3−8m=0,解得m=$\frac{3}{8}$.
(3)A=(a−2)x²−(4+b)x+1,B=2(a−2)x−(4+b),又B=3x+5b,所以2(a−2)x−(4+b)=3x+5b,所以(2a−7)x=4+6b.因为方程B=3x+5b有无数个解,所以方程(2a−7)x=4+6b有无数个解,所以2a−7=0,4+6b=0,所以a=$\frac{7}{2}$,b=$-\frac{2}{3}$.

24. 新题型新定义(10分)观察下列两个等式:$2 - \frac{1}{3} = 2×\frac{1}{3} + 1,5 - \frac{2}{3} = 5×\frac{2}{3} + 1$,给出定义如下:我们称使等式$a - b = ab + 1成立的一对有理数a,b$为“共生有理数对”,记为$(a,b)$.
例如:数对$(2,\frac{1}{3}),(5,\frac{2}{3})$都是“共生有理数对”.
(1)判断数对$(-2,1),(3,\frac{1}{2})$是否为“共生有理数对”,并说明理由;
(2)若$(a,3)$是“共生有理数对”,求$a$的值;
(3)若$(m,n)$是“共生有理数对”,试判断$(-n,-m)$是否为“共生有理数对”,并说明理由.

答案： 24.
(1)(−2,1)不是“共生有理数对”,(3,$\frac{1}{2}$)是“共生有理数对”.理由:因为−2−1=−3,(−2)×1+1=−1,所以−2−1≠(−2)×1+1,即(−2,1)不是“共生有理数对”.因为3−$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$,3×$\frac{1}{2}$+1=$\frac{5}{2}$,所以3−$\frac{1}{2}$=3×$\frac{1}{2}$+1,即(3,$\frac{1}{2}$)是“共生有理数对”.
(2)由题意,得a−3=a×3+1,即a−3=3a+1'，解得a=−2.
(3)是,理由:因为−n−(−m)=−n+m,(−n)×(−m)+1=mn+1　①.又因为(m,n)是“共生有理数对",所以m−n=mn+1,而m−n=−n+m,所以−n+m=mn+1,由①式可知−n−(−m)=(−n)×(−m)+1,所以(−n,−m)是“共生有理数对”