《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

24. (10分)探究:有一长6 cm、宽4 cm的长方形纸板,现要求以其一组对边中点所在直线为轴,旋转180°,得到一个圆柱,可按照以下两种方案进行操作:
方案一:以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转,如图①;
方案二:以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转,如图②.
(1)请通过计算说明哪种方案构造的圆柱体积大.
(2)如果该长方形的长、宽分别是5 cm和3 cm呢? 请通过计算说明哪种方案构造的圆柱体积大.
(3)通过以上探究,你发现对于同一个长方形(不包括正方形),以其一组对边中点所在直线为轴旋转180°得到一个圆柱,怎样操作所得到的圆柱体积大? (不必说明原因)

答案：
(1)方案一：$\pi×\left( \frac{6}{2}\right)^{2}×4 = 36\pi(cm^{3})$，方案二：$\pi×\left( \frac{4}{2}\right)^{2}×6 = 24\pi(cm^{3})$，$36\pi＞24\pi$，所以方案一构造的圆柱体积大。
(2)方案一：以5cm长的这组对边中点所在直线为轴旋转，其体积为$\pi×\left( \frac{5}{2}\right)^{2}×3 = \frac{75}{4}\pi(cm^{3})$；方案二：以3cm长的这组对边中点所在直线为轴旋转，其体积为$\pi×\left( \frac{3}{2}\right)^{2}×5 = \frac{45}{4}\pi(cm^{3})$，$\frac{75}{4}\pi＞\frac{45}{4}\pi$，所以方案一构造的圆柱体积大。
(3)由
(1)
(2)得，以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转180°得到的圆柱体积大。

25. (10分)观察表中几何体,解答下列问题:

(1)补全表中数据.8158
(2)观察表中的结果,试用含有n的代数式表示n棱柱的顶点数为2n,棱数为3n,面数为n + 2.
(3)观察表中的结果,你发现a,b,c之间存在什么关系? 请写出关系式.a + c - b = 2
(4)若在一个棱柱中,顶点数与棱数的和是其面数的四倍,求该棱柱的顶点数、棱数和面数分别是多少.该棱柱的顶点数为16，棱数为24，面数为10。

答案：
(1)8　15　8
(2)2n　3n　n + 2
(3)三棱柱中a + c - b = 6 + 5 - 9 = 2；四棱柱中a + c - b = 8 + 6 - 12 = 2；五棱柱中a + c - b = 10 + 7 - 15 = 2；六棱柱中a + c - b = 12 + 8 - 18 = 2，所以a，b，c之间满足关系式a + c - b = 2。
(4)可用含有m的代数式表示该棱柱的顶点数为2m，棱数为3m，面数为m + 2，由题意可得2m + 3m = 4(m + 2)，解得m = 8，则该棱柱为八棱柱，其顶点数为16，棱数为24，面数为10。