《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

19. 如图,A,B,C为数轴上的点,$AC = 4$,点B为AC的中点,点P为数轴上的任意一点,则$PA+PB + 2PC$的最小值为______.
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答案：
6 【解析】因为AC = 4,点B为AC的中点,所以AB = BC = 2.当点P位于点A左侧时,如图①所示
PA+PB+2PC = PA+PA+AB+2(PA+AC)=4PA + 10;
当点P与点A重合时,如图②所示

PA+PB+2PC = 0 + 2 + 8 = 10;
当点P位于点A与点B之间时,如图③所示

PA+PB+2PC = 2 + 2(PB+BC)=2PB + 6;
当点P与点B重合时,如图④所示

PA+PB+2PC = 2 + 0 + 2×2 = 6;
当点P位于点B与点C之间时,如图⑤所示

PA+PB+2PC = AB+PB+PB+2PC = 2 + 4 = 6;
当点P与点C重合时,如图⑥所示

PA+PB+2PC = 4 + 2 = 6;
当点P位于点C右侧时,如图所示

PA+PB+2PC = AC+PC+BC+PC+2PC = 6 + PC.
综上,PA+PB+2PC的最小值为6.

20. (2024·扬州期末)已知：如图,$PQ// MN$,点B为MN上一点,$∠ABN = ∠Q$.
(1)如图①,试说明：$AB// QR$；
(2)如图②,点F为线段QR上一点,$∠PAF的平分线与∠BRF$的平分线相交于点E,请写出$∠AER与∠AFR$的数量关系,并说明理由；
(3)中欧班列是高质量共建“一带一路”的互联互通大动脉,中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了A,B两座可旋转探照灯.如图③,假定主道路是平行的,即$PQ// MN$,连接AB,且$∠ABN = 45^{\circ}$.灯A发出的射线AC自AQ顺时针旋转至AP,灯B发出的射线BD自BM顺时针旋转至BN后便立即回转,当射线BD回转至BM后两条射线停止运动,两灯不停交叉照射巡视.灯A转动的速度是2度/秒,灯B转动的速度是8度/秒.若它们同时开始转动,设转动时间为t秒,当AC与BD互相垂直时,请直接写出此时t的值.
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答案：

(1)因为PQ//MN,所以∠BAQ + ∠ABN = 180°.因为∠ABN = ∠Q,所以∠BAQ + ∠Q = 180°,所以AB//QR.
(2)∠AFR + 2∠AER = 360°.理由如下:如图①,延长AE交MN于点G,延长AF交MN于点H.因为AE平分∠PAF,RE平分∠BRF,所以设∠PAE = ∠EAF = α,∠ERB = ∠ERF = β.因为PQ//MN,所以∠EGR = ∠PAE = α,所以∠AER = 180° - ∠GER = ∠EGR + ∠ERB = α + β.同理∠AFR = 180° - ∠RFH = ∠QRH + ∠AHR = ∠QRH + ∠QAF = 180° - 2β + 180° - 2α = 360° - 2(α + β).所以∠AFR + 2∠AER = 360°.

(3)t = 15或27或45. 【解析】射线AC运动时间为180÷2 = 90(秒),射线BD的运动时间为360÷8 = 45(秒),所以射线AC最多运动到AC⊥PQ.因为PQ//MN,所以∠QAT = ∠ATB = (2t)°,
① 如图②,当BD,AC未相遇时,设射线AC交MN于点T,射线BD交PQ于点S,因为AC与BD互相垂直,所以∠SBT + ∠ATB = 90°,所以180 - 8t + 2t = 90,解得t = 15;
② 如图③,当BD返回时,∠DBT + ∠ATB = 90°,所以8t - 180 + 2t = 90,解得t = 27;
③ 当BD回到BM时,AC刚好垂直PQ,所以t = 45.
综上所述,$t_{1} = 15$,$t_{2} = 27$,$t_{3} = 45$时,AC与BD互相垂直.

21. 某数学兴趣小组进行课题学习：用长方形硬纸板制作长方体纸盒.
材料：长方形硬纸板ABCD,AD长为15,AB长为3.

(1)初步感受：如图①,在长方形硬纸板四个角上剪去四个边长为1的小正方形,将剩下的硬纸板折叠成无盖的长方体纸盒,则该长方体纸盒底面周长为______.
(2)深入探究：兴趣小组为了充分利用硬纸板(硬纸板无剩余),采用新的裁剪方法：如图②所示,用EF把长方形ABCD分成2个长方形,将长方形ABFE折叠成纸盒的侧面,将长方形CDEF做纸盒的下底面,做成一个无盖的长方体纸盒,请你求这个纸盒底面的边长.
(3)问题解决：在以上操作的启发之下,你能充分利用该长方形硬纸板(硬纸板无剩余),制作一个有盖的长方体纸盒吗？若能,请画出两种裁剪设计图并求出所做纸盒的底面边长,若不能,请说明理由.
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答案：

(1) 28 【解析】如图①,因为AD = BC = 15,AB = CD = 3,所以GJ = HI = 15 - 2 = 13,GH = IJ = 3 - 2 = 1,所以底面周长为GJ + HI + GH + IJ = 28.

(2) 设DE = CF = x,则长方体纸盒的底面周长为EF + CD + DE + CF = 2x + 6.由长方形ABFE折叠成纸盒的侧面,得AE的长度为底面周长的长度,则AE = 2x + 6.因为AD = 15,所以AE + DE = 15,即2x + 6 + x = 15,解得x = 3.此时四边形CDEF为正方形,即这个纸盒底面的边长为3.
(3) 能制作一个有盖的长方体纸盒.理由如下:
方案1: 将长方形DCFE,EFNM作为长方体纸盒的上、下底面,长方形ABNM作为长方体纸盒的侧面,如图②所示,

设ME = ED = NF = CF = a,则长方体纸盒的底面周长为ME + MN + NF + EF = 2a + 6,由长方形ABNM作为长方体纸盒的侧面,得AM的长度为底面周长的长度,则AM = 2a + 6.因为AD = 15,所以AM + ME + DE = 15,即2a + 6 + a + a = 15,解得$a=\frac{9}{4}$,所以所做纸盒的底面相邻两边一边为3,一边为$\frac{9}{4}$.
方案2: EF将长方形ABCD分成两个长方形,则EF = 3.分别取EF,CD的中点G,H,连接GH,则$EG = GF=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}CD=\frac{3}{2}$.设DE = y,则AE = 15 - y,由题意,得$2(y+\frac{3}{2})=15 - y$,解得y = 4,所以所做纸盒的底面相邻两边长一边为4,一边为$\frac{3}{2}$.