《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

23. (8 分)小亮房间窗户的窗帘如图①所示,它是由两个四分之一圆组成的(半径相同).
(1)请用代数式表示窗帘的面积:$\frac {πb^{2}}{8}$,用代数式表示窗户能射进阳光的面积:$ab-\frac {πb^{2}}{8}$.(结果保留 $ \pi $)
(2)当 $ a = \frac { 2 } { 3 } , b = 1 $ 时,窗户能射进阳光的面积约是多少? (取 $ \pi \approx 3 $)
当$a=\frac {2}{3},b=1$时，窗户能射进阳光的面积约是$\frac {7}{24}$
(3)小亮又设计了如图②的窗帘(由一个半圆和两个四分之一圆组成,半径相同),请你帮他算算此时窗户能射进阳光的面积是否更大.如果更大,那么大多少?
此时窗户能射进阳光的面积更大，大$\frac {πb^{2}}{16}$

答案：
(1)$\frac {πb^{2}}{8}$；$ab-\frac {πb^{2}}{8}$;
(2)当$a=\frac {2}{3},b=1$时，窗户能射进阳光的面积约是$\frac {7}{24}$;
(3)此时窗户能射进阳光的面积更大，大$\frac {πb^{2}}{16}$

24. (8 分)新趋势代数推理(2024·南京月考)一个四位数,千位上的数字是 $ a $,百位上的数字是 $ b $,十位上的数字为 $ c $,个位上的数字为 $ d $,如果 $ a + b + c + d $ 可以被 3 整除,那么这个四位数就可以被 3 整除.写出论证过程(以这个四位数为例即可).

答案： 设a+b+c+d=3e(e为整数)，这个四位数可以写为1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3(333a+33b+3c)+3e，所以$\frac {1000a+100b+10c+d}{3}=333a+33b+3c+e$，因为333a+33b+3c+e是整数，所以1000a+100b+10c+d可以被3整除