《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

24. (8分)学校原计划修建形状如图①所示的两个半径为$r$的水池,由于占地面积太大,现改建为如图②③所示的形状,且外圆的直径不变.
(1)图②所示的设计方案中,各圆形水池的周长之和可以表示为4πr(结果保留π);
(2)若设计成图③的形状,试比较图③与图①两种设计方案中各圆形水池周长之和的大小;
题图①周长之和为2×2πr=4πr，题图③周长之和为$2πr+2π×\frac{r}{2}+2π×\frac{r}{3}+2π×\frac{r}{6}=4πr，$所以相等
(3)猜想:如果设计成如图④的形状(外圆直径上分布了$n$个大小不等的圆,且外圆的直径不变),那么各圆形水池的周长之和为4πr(结果保留π).

答案：
(1)4πr；
(2)题图①周长之和为2×2πr=4πr，题图③周长之和为$2πr+2π×\frac{r}{2}+2π×\frac{r}{3}+2π×\frac{r}{6}=4πr，$所以相等；
(3)4πr

25. (10分)如图,数轴上依次排列着四个点$A,B,C,D$,且$A,B间的距离与C,D$间的距离相等,点$A表示的数是x$.
【问题提出】
(1)如图①,若$A,B$间的距离为2,且$B,C$两点到原点的距离相等,则:
①点$B$表示的数为x+2(用含$x$的代数式表示);
②点$C$表示的数为-(x+2)(用含$x$的代数式表示).
【初步思考】
(2)如图②,若$A,B$间的距离为2,点$A,B$都以每秒3个单位长度的速度沿数轴同时向右运动,当点$B与C$重合时,点$D表示的数为4x-14$,求点$A$运动的时间(用含$x$的代数式表示).
设运动时间为t秒，x+2+3t+2=4x-14，解得t=x-6
【类比解决】
(3)一天,小明去问爷爷的年龄,爷爷说:“我若是你现在这么大,你还要45年才出生;你若是我现在这么大,我已经是102岁的老寿星了.”
①请在数轴上大致标出小明的年龄数对应的点$M以及他爷爷的年龄数对应的点N$;
②爷爷的年龄是53岁.

答案：
(1)①x+2；②-(x+2)；
(2)设运动时间为t秒，x+2+3t+2=4x-14，解得t=x-6；
(3)②53