《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

16. (12分)如图,设计一个爱心活动标志图案,其中AD,DE为半圆的直径,$AB= a,BC= CF= b$.
(1)用含a,b的代数式表示这个图案(阴影部分)的面积S；(结果保留π)
(2)当$a= 6,b= 4$时,求S的值.(结果保留π)

答案： 1. （1）解：
首先，观察图形可知，阴影部分的面积$S$等于两个半圆的面积加上矩形$ABCE$的面积减去$\triangle ACE$的面积。
已知$AB = a$，$BC = CF = b$，半圆的直径$AD=\frac{1}{2}AE = b$（因为$AE=BC + CF=2b$）。
根据圆的面积公式$S_{圆}=\pi r^{2}$（$r$为半径），半圆的面积$S_{半圆}=\frac{1}{2}\pi r^{2}$，这里$r = \frac{b}{2}$，则两个半圆的面积$S_{1}=2×\frac{1}{2}\pi(\frac{b}{2})^{2}=\frac{\pi b^{2}}{4}$。
矩形$ABCE$的面积$S_{2}=AB× BC=a×2b = 2ab$。
$\triangle ACE$的面积$S_{3}=\frac{1}{2}× AE× AB$，因为$AE = 2b$，$AB = a$，所以$S_{3}=\frac{1}{2}×2b× a=ab$。
那么阴影部分面积$S = S_{1}+S_{2}-S_{3}$。
把$S_{1}=\frac{\pi b^{2}}{4}$，$S_{2}=2ab$，$S_{3}=ab$代入可得：$S=\frac{\pi b^{2}}{4}+2ab - ab=\frac{\pi b^{2}}{4}+ab$。
2. （2）解：
当$a = 6$，$b = 4$时，把$a$和$b$的值代入$S=\frac{\pi b^{2}}{4}+ab$中。
先计算$\frac{\pi b^{2}}{4}$的值：$\frac{\pi×4^{2}}{4}=4\pi$。
再计算$ab$的值：$ab=6×4 = 24$。
所以$S=4\pi+24$。
综上，（1）$S=\frac{\pi b^{2}}{4}+ab$；（2）$S = 4\pi+24$。

17. (12分)(2024·扬州广陵区期末)根据表格,回答问题：
|x|…|-2|-1|0|1|2|…|
|$-2x+5$|…|9|7|5|3|a|…|
|$3x+8$|…|2|5|8|11|b|…|
(1)【初步感知】$a= $1；$b= $14.
(2)【归纳规律】
表中$-2x+5$的值的变化规律：x的值每增加1时,$-2x+5$的值就减少2.类似地,请写出$3x+8$的值的变化规律：x的值每增加1时，$3x+8$的值就增加3.
(3)【问题解决】
请直接写出一个含x的代数式,要求x的值每增加1,代数式的值就减小5,且当$x= 2$时,代数式的值为-4.$-5x+6$

答案： 【解析】：
(1) 对于$a$的求解，将$x=2$代入$-2x+5$中，可得$a=-2×2+5=1$；
对于$b$的求解，将$x=2$代入$3x+8$中，可得$b=3×2+8=14$。
(2) 观察表格，当$x$的值从$-2$增加到$-1$时，$-2x+5$的值从$9$减少到$7$，减少了$2$；
类似地，当$x$的值每增加$1$时，$-2x+5$的值就减少$2$。
对于$3x+8$，观察表格，当$x$的值从$-2$增加到$-1$时，$3x+8$的值从$2$增加到$5$，增加了$3$；
所以，当$x$的值每增加$1$时，$3x+8$的值就增加$3$。
(3) 设代数式为$y=kx+c$，
由于$x$的值每增加$1$，代数式的值就减小$5$，所以斜率$k=-5$。
又因为当$x=2$时，$y=-4$，代入得：$-4=-5×2+c$，解得$c=6$。
所以，代数式为$y=-5x+6$。
【答案】：
(1) $a=1$；$b=14$
(2) $2$；$x$的值每增加$1$时，$3x+8$的值就增加$3$
(3) $y=-5x+6$