《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

15. (10分)已知点D在线段AB上,$BD= 2AD$,C是线段AD的中点,且$AB= 6$.
(1)如图①,求线段BC的长.
(2)如图②,E是线段AB上的点,且$CE= 3$.在图②中,哪些点是图中线段的中点(点C除外)?并说明理由.

答案：
(1)因为BD=2AD,AB=6,所以AD+2AD=AD+BD=AB=6,所以AD=2.因为C是线段AD的中点,所以AC=$\frac{1}{2}$AD=1,所以BC=AB−AC=6−1=5.
(2)因为AD=2,C是线段AD的中点,所以AC=DC=$\frac{1}{2}$AD=1,所以BC=AB−AC=6−1=5,BD=AB−AD=6−2=4.因为CE=3,所以BE=BC−CE=5−3=2,所以DE=BD−BE=4−2=2,所以D是线段AE的中点,E是线段BD的中点.

16. (12分)点O在直线AD上,在直线AD的同侧作射线OB,OC.
(1)如图①,若$∠AOB= 40^{\circ },∠BOC:∠COD= 4:3$,求$∠BOC$的度数;
(2)如图②,若OM平分$∠AOC$,ON平分$∠BOD,∠MON= 130^{\circ }$,求$∠BOC$的度数.

答案：
(1)因为∠AOB=40°,所以∠BOD=180°−∠AOB=140°,所以∠BOC+∠COD=140°.因为∠BOC:∠COD=4:3,所以设∠BOC=4x,∠COD=3x,所以4x+3x=140°,所以x=20°,所以∠BOC=80°.
(2)因为∠MON=130°,所以∠AOM+∠DON=180°−∠MON=50°.因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,所以∠AOM=∠COM,∠BON=∠DON,所以∠COM+∠BON=50°,所以∠BOC=∠MON−(∠COM+∠BON)=130°−50°=80°.

17. 新题型新定义(14分)对于数轴上的点M,线段AB,给出如下定义:
P为线段AB上任意一点,我们把M,P两点间距离的最小值称为点M关于线段AB的“靠近距离”,记作$d_{1}$(点M,线段AB);把M,P两点间距离的最大值称为点M关于线段AB的“远离距离”,记作$d_{2}$(点M,线段AB).
特别地,若点M与点P重合,则M,P两点间的距离为0.
已知点A表示的数为-5,点B表示的数为2.
(1)如图,若点C表示的数为3,则$d_{1}$(点C,线段AB)=1,$d_{2}$(点C,线段AB)=8;
(2)若点M表示的数为m,$d_{1}$(点M,线段AB)= 3,则m的值为−8或5;若点N表示的数为n,$d_{2}$(点N,线段AB)= 12,则n的值为−10或7;
(3)若点E表示的数为x,点F表示的数为x+2,$d_{2}$(点F,线段AB)是$d_{1}$(点E,线段AB)的3倍.求x的值.

①当点E在点A的左侧时,
d₂(点F,线段AB)=BF=2−(x+2)=−x,
d₁(点E,线段AB)=AE=−5−x,
因为d₂(点F,线段AB)是d₁(点E,线段AB)的3倍,
所以−x=3(−5−x),所以x=−7.5.
②当点E在线段AB上时,d₁(点E,线段AB)=0,不合题意,舍去;
③当点E在点B的右侧时,
d₂(点F,线段AB)=AF=x+2−(−5)=x+7,
d₁(点E,线段AB)=EB=x−2,
因为d₂(点F,线段AB)是d₁(点E,线段AB)的3倍,
所以x+7=3(x−2),所以x=6.5.
综上所述,x的值为−7.5或6.5.

答案：
(1)1　8
(2)−8或5　−10或7
(3)①当点E在点A的左侧时,
d₂(点F,线段AB)=BF=2−(x+2)=−x,
d₁(点E,线段AB)=AE=−5−x,
因为d₂(点F,线段AB)是d₁(点E,线段AB)的3倍,
所以−x=3(−5−x),所以x=−7.5.
②当点E在线段AB上时,d₁(点E,线段AB)=0,不合题意,舍去;
③当点E在点B的右侧时,
d₂(点F,线段AB)=AF=x+2−(−5)=x+7,
d₁(点E,线段AB)=EB=x−2,
因为d₂(点F,线段AB)是d₁(点E,线段AB)的3倍,
所以x+7=3(x−2),所以x=6.5.
综上所述,x的值为−7.5或6.5.