《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

15. (2025·湖南模拟)如图是一个400米长的圆形跑道,从点O出发,沿跑道顺时针跑出52米的距离记作+52米,逆时针跑出60米的距离记作-60米.定义1:跑道上任意两点之间较短圆弧的长度叫作这两点的弧距;定义2:若点M为跑道上A,B两点之间较短圆弧上一点,且到A,B两点的弧距满足:其中一个弧距是另一个弧距的3倍,则称M为A,B两点的“友谊点”.已知跑道上两点A,B对应的有理数分别为-80,40,根据上述定义,A,B两点的“友谊点”M在跑道上对应的有理数为 (D)
A.-40或0
B.$-40+400k$或400k(k为任意整数)
C.-50或10
D.$-50+400k或10+400k$(k为任意整数)

答案： D 【解析】设$M$在跑道上对应的有理数为$x$，则$AM=x-(-80)=x + 80$，$BM=40 - x$，根据定义，可得$3AM=BM$或$AM=3BM$，可列方程为$3(x + 80)=40 - x$或$x + 80=3(40 - x)$，解得$x=-50$或$x = 10$，由于$M$点可绕圆周顺时针或逆时针运动，所以$x$可加上任意$k$圈，故$M$在跑道上对应的有理数为$-50+400k$或$10+400k$（$k$为任意整数）.故选D.

16. (2024·启东期末)定义:若两个角差的绝对值等于$60^{\circ }$,则称这两个角互为“优角”,其中一个角是另一个角的“优角”.如：$∠α=100^{\circ },∠β=40^{\circ },|∠α-∠β|= 60^{\circ }$,则$∠α和∠β$互为“优角”.如图,已知$∠AOB= 120^{\circ }$,射线OC平分$∠AOB,∠EOF在∠AOB$的内部,若$∠EOF= 60^{\circ }$,则图中互为“优角”的共有 (B)

A.6对
B.7对
C.8对
D.9对

答案： B 【解析】因为$\angle AOB=120^{\circ}$，射线$OC$平分$\angle AOB$，所以$\angle AOC=\angle BOC=\frac{1}{2}\angle AOB=60^{\circ}$，所以$\angle AOB-\angle AOC=60^{\circ}$，$\angle AOB-\angle BOC=60^{\circ}$，所以$\angle AOB$与$\angle AOC$互为“优角”，$\angle AOB$与$\angle BOC$互为“优角”.又因为$\angle EOF=60^{\circ}$，所以$\angle AOB-\angle EOF=60^{\circ}$，所以$\angle AOB$与$\angle EOF$互为“优角”.因为$\angle AOC=\angle EOF=60^{\circ}$，所以$\angle AOF-\angle AOE=\angle EOF=60^{\circ}$，$\angle AOF-\angle COF=\angle AOC=60^{\circ}$，所以$\angle AOF$与$\angle AOE$互为“优角”，$\angle AOF$与$\angle COF$互为“优角”.因为$\angle BOC=\angle EOF=60^{\circ}$，所以$\angle BOE-\angle COE=\angle BOC=60^{\circ}$，$\angle BOE-\angle BOF=\angle EOF=60^{\circ}$，所以$\angle BOE$与$\angle COE$互为“优角”，$\angle BOE$与$\angle BOF$互为“优角”.综上所述，图中互为“优角”的共有7对.故选B.

17. 如果一个多项式的各个项的次数都相同,那么我们就称这个多项式为齐次多项式.例如:$x^{2}+2xy+y^{2}$,它各个项的次数都是2次,我们就说这个多项式是齐次多项式.已知多项式$A= x^{2}-xy+2$,若多项式A与一个三次整式B的差为齐次多项式,那么这个三次整式B可以是$x^{2}-xy + 2+x^{3}+y^{3}$.(写出一个符合要求的即可)

答案： $x^{2}-xy + 2+x^{3}+y^{3}$(答案不唯一) 【解析】根据题意，多项式$A=x^{2}-xy + 2$不是齐次多项式，其最高次数为2，而整式$B$为三次整式，故只需$B$中含有多项式$A=x^{2}-xy + 2$，且其余各项次数为3即可，如$x^{2}-xy + 2+x^{3}+y^{3}$.

18. 如果两个方程的解相差1,那么称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”.例如:关于x的方程$x-2= 0$是关于x的方程$x-1= 0$的后移方程.若关于x的方程$3x+m+n= 0$是关于x的方程$3x+m= 0$的后移方程,则n的值为-3.

答案： -3 【解析】解方程$3x + m + n=0$可得$x=-\frac{m + n}{3}$，解方程$3x + m=0$可得$x=-\frac{m}{3}$.由题意可得$-\frac{m + n}{3}=-\frac{m}{3}+1$，解得$n=-3$.故答案为 - 3.

19. 对于数轴上的两点P,Q(点P在点Q左边)给出如下定义:P,Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P,Q两点的绝对距离,记为$||POQ||$.例如:P,Q两点表示的数如图所示,则$||POQ||= |PO-QO|= |3-1|= 2$.若$PQ= 3,||POQ||= 2$,那么此时点P表示的数为 -0.5或-2.5.

答案： -0.5或 - 2.5 【解析】设点$P$表示的数为$x$，则点$Q$表示的数为$x + 3$.因为$||POQ||=2$，所以点$P$在点$O$左侧，点$Q$在点$O$右侧，则$PO=-x$，$QO=x + 3$，所以$||POQ||=|-x-(x + 3)|=2$，所以$-x - x - 3=-2$或$-x - x - 3=2$，解得$x=-0.5$或$x=-2.5$.

20. (2024·仪征期末)对数m,n,给出定义:若$|\frac {m}{n}|= 2$,则称m是n的“正比数”;若$|mn|= 2$,则称m是n的“反比数”,举例:因为$|\frac {3}{1.5}|= 2$,所以3是1.5的“正比数”;因为$|3×(-\frac {2}{3})|= 2$,所以3是$-\frac {2}{3}$的“反比数”.点A,B在数轴上表示的数分别是$a,b(a≠b且ab≠0)$,点E是AB的中点,在数轴上表示的数是e.
(1)①若a是b的“正比数”,$a= 4$,则$b= $±2;②若a是b的“反比数”,$a= 4$,则$b= $±$\frac{1}{2}$.
(2)若$a= 2$,e是a的“反比数”,求b.因为$e$是$a$的反比数，所以$|ae|=2$.又$a = 2$，所以$e=±1$.因为$E$是$AB$的中点，所以$e=\frac{a + b}{2}$.当$e = 1$时，$b = 0$（舍去），当$e=-1$时，$b=-4$.综上，$b=-4$.
(3)若$a= 2$,e是a,b两数中其中一个数的“正比数”,请直接写出b的值.$b = 6$或 - 10或$\frac{2}{3}$或$-\frac{2}{5}$.

答案：
(1)①±2 ②±$\frac{1}{2}$ 【解析】①因为$a$是$b$的“正比数”，且$a = 4$，所以$|\frac{4}{b}|=2$，所以$b=±2$.②因为$a$是$b$的“反比数”，且$a = 4$，所以$|4b|=2$，所以$b=±\frac{1}{2}$.
(2)因为$e$是$a$的反比数，所以$|ae|=2$.又$a = 2$，所以$e=±1$.因为$E$是$AB$的中点，所以$e=\frac{a + b}{2}$.当$e = 1$时，$b = 0$（舍去），当$e=-1$时，$b=-4$.综上，$b=-4$.
(3)$b = 6$或 - 10或$\frac{2}{3}$或$-\frac{2}{5}$. 【解析】①当$e$是$a$的正比数时，即$|\frac{e}{a}|=2$，所以$|e|=4$，即$e=±4$.又$e=\frac{a + b}{2}$，所以当$e = 4$时，$\frac{2 + b}{2}=4$，$b = 6$，当$e=-4$时，$\frac{2 + b}{2}=-4$，$b=-10$. ②当$e$是$b$的正比数时，$|\frac{e}{b}|=2$，所以$|e|=2|b|$.当$e＞0$，$b＞0$时，$e = 2b$，又$e=\frac{2 + b}{2}$，所以$4b=2 + b$，解得$b=\frac{2}{3}$；当$e＞0$，$b＜0$时，$e=-2b$，又$e=\frac{2 + b}{2}$，所以$-4b=2 + b$，解得$b=-\frac{2}{5}$；当$e＜0$，$b＞0$时，$-e = 2b$，又$e=\frac{2 + b}{2}$，所以$-4b=2 + b$，$b=-\frac{2}{5}$（不符合条件，舍去）.当$e＜0$，$b＜0$时，$-e=-2b$，又$e=\frac{2 + b}{2}$，所以$4b=2 + b$，$b=\frac{2}{3}$（不符合条件，舍去）. 综上分析，$b = 6$或 - 10或$\frac{2}{3}$或$-\frac{2}{5}$.