《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

21. (2024·盐城亭湖区期末)类比同类项的概念,我们规定:所含字母相同,并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项称为“准同类项”.例如：$a^{2}b^{3}与3a^{3}b^{2}$是“准同类项”.
(1)下列单项式:①$3a^{3}b^{4}$,②$-5a^{3}b^{3}$,③$2ab^{4}$,其中与$a^{3}b^{4}$是“准同类项”的是 ①② (填序号).
(2)已知A,B,C均为关于a,b的多项式,$A= a^{3}b^{4}+3a^{2}b^{3}+(n-2)ab^{2},B= -2ab^{2}+3ab^{n}-a^{3}b^{4},C= A+B$.若C的任意两项都是“准同类项”,求正整数n的值.
因为$A=a^{3}b^{4}+3a^{2}b^{3}+(n - 2)ab^{2}$，$B=-2ab^{2}+3ab^{n}-a^{3}b^{4}$，所以$C=A + B=(n - 4)ab^{2}+3a^{2}b^{3}+3ab^{n}$，所以$n = 2$或3.
(3)已知D,E均为关于a,b的单项式,$D= 3ab^{m},E= 2a^{n}b^{3}$,其中m,n是正整数,$m= |x-1|+|x-2|+k,n= k(|x-1|-|x-2|)$,x和k都是有理数,且$k＞0$.若D与E是“准同类项”,则x的最大值是 3 ,最小值是 $\frac{5}{3}$ .

答案：
(1)①②
(2)因为$A=a^{3}b^{4}+3a^{2}b^{3}+(n - 2)ab^{2}$，$B=-2ab^{2}+3ab^{n}-a^{3}b^{4}$，所以$C=A + B=(n - 4)ab^{2}+3a^{2}b^{3}+3ab^{n}$，所以$n = 2$或3.
(3)3 $\frac{5}{3}$ 【解析】因为$D$与$E$是“准同类项”，又$D=3ab^{m}$，$E=2a^{n}b^{3}$，所以$m = 2$或3或4，$n = 1$或2.又$m=|x - 1|+|x - 2|+k$，$n=k(|x - 1|-|x - 2|)$，①当$x≥2$时，$m=2x - 3 + k$，$n = k$，所以$x=\frac{m}{2}-\frac{n}{2}+\frac{3}{2}$，要使$x$最大，则$m = 4$，$n = 1$，所以$x$最大为3.要使$x$最小，则$m = 2$，$n = 2$，得$x=\frac{3}{2}$（小于2，舍去）；若$m = 2$，$n = 1$，得$x = 2$.所以$x$的最大值为3，最小值为2.②当$x≤1$时，$n=-k$，因为$n$为正整数，所以$k=-n$是负数.又$k＞0$，所以这种情况舍去.③当$1≤x≤2$时，$m=1 + k$，$n=k(2x - 3)$，所以$x=\frac{n}{2m - 2}+\frac{3}{2}$，当$m = 2$，$n = 1$时，$x=\frac{1}{4 - 2}+\frac{3}{2}=2$；当$m = 2$，$n = 2$时，$x=\frac{5}{2}$（舍去）；当$m = 3$，$n = 1$时，$x=\frac{7}{4}$；当$m = \cdot 3$，$n = 2$时，$x = 2$；当$m = 4$，$n = 1$时，$x=\frac{5}{3}$；当$m = 4$，$n = 2$时，$x=\frac{11}{6}$；所以$x$的最大值为2，最小值为$\frac{5}{3}$.综上所述，$x$的最大值为3，最小值为$\frac{5}{3}$.

22. (2024·扬州校级期末)定义:从一个角的顶点出发,在角的内部引两条射线,如果这两条射线所成的角等于这个角的一半,那么这两条射线所成的角叫作这个角的内半角,如图①所示,若$∠COD= \frac {1}{2}∠AOB$,则$∠COD是∠AOB$的内半角.
(1)如图①所示,已知$∠AOB= 70^{\circ },∠AOC= 15^{\circ },∠COD是∠AOB$的内半角,则$∠BOD= $$20^{\circ}$.
(2)如图②,已知$∠AOB= 63^{\circ }$,将$∠AOB$绕点O按顺时针方向旋转一个角度$α(0＜α＜63^{\circ })至∠COD$,当旋转的角度α为何值时,$∠COB是∠AOD$的内半角?
旋转的角度$\alpha$为$21^{\circ}$时，$\angle COB$是$\angle AOD$的内半角.理由：因为$\angle AOC=\angle BOD=\alpha$，$\angle AOB=63^{\circ}$，所以$\angle AOD=63^{\circ}+\alpha$，$\angle BOC=63^{\circ}-\alpha$.因为$\angle COB$是$\angle AOD$的内半角，所以$\frac{1}{2}(63^{\circ}+\alpha)=63^{\circ}-\alpha$，所以$\alpha=21^{\circ}$.所以旋转的角度$\alpha$为$21^{\circ}$时，$\angle COB$是$\angle AOD$的内半角.
(3)已知$∠AOB= 30^{\circ }$,把一块含有$30^{\circ }$角的三角板如图③叠放,将三角板绕顶点O以$3^{\circ }$/秒的速度按顺时针方向旋转,如图④,问:在旋转一周的过程中,射线OA,OB,OC,OD能否构成内半角?若能,请求出旋转的时间;若不能,请说明理由.
在旋转一周的过程中，射线$OA,OB,OC,OD$能构成内半角.理由如下：设按顺时针方向旋转一个角度$\alpha$，旋转的时间为$t$，如图①，因为$\angle BOC$是$\angle AOD$的内半角，$\angle AOC=\angle BOD=\alpha$，所以$\angle AOD=30^{\circ}+\alpha$，所以$\frac{1}{2}(30^{\circ}+\alpha)=30^{\circ}-\alpha$，解得$\alpha=10^{\circ}$，所以$t=\frac{10}{3}\ s$；如图②，因为$\angle BOC$是$\angle AOD$的内半角，$\angle AOC=\angle BOD=\alpha$，所以$\angle AOD=30^{\circ}+\alpha$，所以$\frac{1}{2}(30^{\circ}+\alpha)=\alpha-30^{\circ}$，所以$\alpha=90^{\circ}$，所以$t = 30\ s$；如图③，因为$\angle AOD$是$\angle BOC$的内半角，$\angle AOC=\angle BOD=360^{\circ}-\alpha$，所以$\angle BOC=360^{\circ}+30^{\circ}-\alpha$，所以$\frac{1}{2}(360^{\circ}+30^{\circ}-\alpha)=360^{\circ}-\alpha-30^{\circ}$，所以$\alpha=270^{\circ}$，所以$t = 90\ s$；如图④，因为$\angle AOD$是$\angle BOC$的内半角，$\angle AOC=\angle BOD=360^{\circ}-\alpha$，所以$\angle BOC=360^{\circ}+30^{\circ}-\alpha$，所以$\frac{1}{2}(360^{\circ}+30^{\circ}-\alpha)=30^{\circ}-(360^{\circ}-\alpha)$，解得$\alpha=350^{\circ}$，所以$t=\frac{350}{3}\ s$. 综上所述，当旋转的时间为$\frac{10}{3}\ s$或$30\ s$或$90\ s$或$\frac{350}{3}\ s$时，射线$OA,OB,OC,OD$能构成内半角.

答案：
(1)$20^{\circ}$ 【解析】因为$\angle COD$是$\angle AOB$的内半角，$\angle AOB=70^{\circ}$，所以$\angle COD=\frac{1}{2}\angle AOB=35^{\circ}$.因为$\angle AOC=15^{\circ}$，所以$\angle BOD=70^{\circ}-35^{\circ}-15^{\circ}=20^{\circ}$.
(2)旋转的角度$\alpha$为$21^{\circ}$时，$\angle COB$是$\angle AOD$的内半角.理由：因为$\angle AOC=\angle BOD=\alpha$，$\angle AOB=63^{\circ}$，所以$\angle AOD=63^{\circ}+\alpha$，$\angle BOC=63^{\circ}-\alpha$.因为$\angle COB$是$\angle AOD$的内半角，所以$\frac{1}{2}(63^{\circ}+\alpha)=63^{\circ}-\alpha$，所以$\alpha=21^{\circ}$.所以旋转的角度$\alpha$为$21^{\circ}$时，$\angle COB$是$\angle AOD$的内半角.
(3)在旋转一周的过程中，射线$OA,OB,OC,OD$能构成内半角.理由如下：设按顺时针方向旋转一个角度$\alpha$，旋转的时间为$t$，如图①，因为$\angle BOC$是$\angle AOD$的内半角，$\angle AOC=\angle BOD=\alpha$，所以$\angle AOD=30^{\circ}+\alpha$'，所以$\frac{1}{2}(30^{\circ}+\alpha)=30^{\circ}-\alpha$，解得$\alpha=10^{\circ}$，所以$t=\frac{10}{3}\ s$；如图②，因为$\angle BOC$是$\angle AOD$的内半角，$\angle AOC=\angle BOD=\alpha$，所以$\angle AOD=30^{\circ}+\alpha$，所以$\frac{1}{2}(30^{\circ}+\alpha)=\alpha-30^{\circ}$，所以$\alpha=90^{\circ}$，所以$t = 30\ s$；如图③，因为$\angle AOD$是$\angle BOC$的内半角，$\angle AOC=\angle BOD=360^{\circ}-\alpha$，所以$\angle BOC=360^{\circ}+30^{\circ}-\alpha$，所以$\frac{1}{2}(360^{\circ}+30^{\circ}-\alpha)=360^{\circ}-\alpha-30^{\circ}$，所以$\alpha=270^{\circ}$，所以$t = 90\ s$；如图④，因为$\angle AOD$是$\angle BOC$的内半角，$\angle AOC=\angle BOD=360^{\circ}-\alpha$，所以$\angle BOC=360^{\circ}+30^{\circ}-\alpha$，所以$\frac{1}{2}(360^{\circ}+30^{\circ}-\alpha)=30^{\circ}-(360^{\circ}-\alpha)$，解得$\alpha=350^{\circ}$，所以$t=\frac{350}{3}\ s$. 综上所述，当旋转的时间为$\frac{10}{3}\ s$或$30\ s$或$90\ s$或$\frac{350}{3}\ s$时，射线$OA,OB,OC,OD$能构成内半角.