《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

9. 新趋势开放性试题(2025·无锡校级月考)若含m的代数式,满足当$m= 1$时,代数式的值为-2.请你写出一个符合条件的代数式$-2m$.

答案： 【解析】：
这个问题是一个开放性试题，要求写出一个代数式，使得当$m=1$时，代数式的值为-2。
首先，设定一个代数式，该代数式可以是一个多项式，包含m的各项和常数项。
然后，根据题目条件，即当$m=1$时，代数式的值为-2，来求解代数式中的未知参数（如果有的话）。
在这个问题中，可以简单地设定代数式为$am+b$的形式（其中a和b是常数），然后通过代入$m=1$和对应的代数式值-2来求解a和b。
为了简化，可以直接设定$a=-2$，$b=0$（这不是唯一答案，但足够简单且满足条件），从而得到代数式$-2m$。
当然，也可以设定其他形式的代数式，如$m-3$，$m^2-3$（当$m=1$时，$m^2=1$，所以$m^2-3=-2$）等。
【答案】：
答案不唯一，如$- 2m$。

10. 一件商品的售价为x元,利润率为$a\% (a＞0)$,则这种商品每件的成本是$\frac{100x}{100 + a}$元.

答案： 【解析】：
本题主要考察利润率的计算以及代数表达式的建立。
利润率是利润与成本的比值，通常表示为百分比。
设商品的成本为C元，则利润为$x - C$元。
根据利润率的定义，有：
$\frac{x - C}{C} = \frac{a}{100}$。
解这个方程，可以得到成本C关于售价x和利润率a的表达式。
将方程两边同时乘以C，得到：
$x - C = \frac{a}{100}C$。
将所有项移到同一边，得到：
$x = C(1 + \frac{a}{100})$。
解出C，得到：
$C = \frac{x}{1 + \frac{a}{100}}$。
也可以写成：
$C = \frac{100x}{100 + a}$。
【答案】：
$\frac{100x}{100 + a}$元。

11. 如图是一个数值转换机的示意图.若输出的值为35,则输入的数为$\pm5$.

答案： 【解析】：
本题可通过设未知数，根据数值转换机的运算顺序列出方程，然后求解方程得到输入的数。
设输入的数为$x$，根据数值转换机的运算顺序，先对$x$进行平方运算，再乘以$3$，接着减去$5$，最后除以$2$得到输出值$y$，已知输出值$y = 35$，可据此列出方程并求解。
列出方程：$\frac{3x^{2}-5}{2}=35$。
求解上述方程：
方程两边同时乘以$2$可得：$3x^{2}-5 = 35×2$，即$3x^{2}-5 = 70$。
方程两边同时加$5$可得：$3x^{2}=70 + 5$，即$3x^{2}=75$。
方程两边同时除以$3$可得：$x^{2}=75÷3$，即$x^{2}=25$。
对$x^{2}=25$开平方可得：$x=\pm\sqrt{25}=\pm5$。
【答案】：
$\pm5$

12. 当$x= 1$时,$ax^{3}+bx+3= 5$；则当$x= -1$时,代数式$ax^{2}-bx-2$的值为______0.

答案： 解：当$x = 1$时，$a×1^{3}+b×1 + 3=5$，即$a + b + 3=5$，所以$a + b=2$。
当$x=-1$时，代数式$ax^{2}-bx - 2=a×(-1)^{2}-b×(-1)-2=a + b - 2$。
因为$a + b=2$，所以原式$=2 - 2=0$。
0

13. (12分)用字母表示下列运算或数量关系：
(1)2与一个数的平方的和；
(2)一个数的绝对值减3的差；
(3)一个数减3的差的绝对值大于等于0；
(4)一个数的绝对值等于这个数的相反数.

答案： 【解析】：
本题主要考查了代数式的表示方法以及绝对值、平方、相反数等数学概念的理解和应用。
(1) 对于“2与一个数的平方的和”，我们可以设这个数为$x$，那么它的平方就是$x^2$，所以2与这个数的平方的和就是$2 + x^{2}$。
(2) 对于“一个数的绝对值减3的差”，我们同样设这个数为$x$，它的绝对值是$|x|$，所以绝对值减3的差就是$|x| - 3$。
(3) 对于“一个数减3的差的绝对值大于等于0”，设这个数为$x$，它减3的差是$x - 3$，这个差的绝对值是$|x - 3|$，根据绝对值的性质，任何数的绝对值都大于等于0，所以$|x - 3| \geq 0$。
(4) 对于“一个数的绝对值等于这个数的相反数”，设这个数为$x$，它的绝对值是$|x|$，它的相反数是$-x$，所以有$|x| = -x$。这个等式在$x$为非正数时成立，因为正数的绝对值是其本身，不可能等于其相反数，而0和负数的绝对值是其相反数（0的相反数是0，负数的相反数是正数，但绝对值计算会把负数转为正数，所以等式成立）。但在此题中，我们只需表示出这个关系，即$|x| = -x$。
【答案】：
(1) $2 + x^{2}$
(2) $|x| - 3$
(3) $|x - 3| \geq 0$
(4) $|x| = -x$

14. (8分)(2024·苏州月考)一根弹簧长12 cm,在弹性限度(总长不超过20 cm)内,每挂质量为1 kg的物体,弹簧伸长0.5 cm.
(1)代数式$0.5x+12$表示的实际意义是挂$xkg$物体时弹簧的总长度；
(2)这根弹簧最多可挂质量为多少千克的物体?
这根弹簧最多可挂质量为16kg的物体。

答案： 【解析】：
本题主要考察代数式的实际意义以及一元一次不等式的应用。
(1) 代数式$0.5x+12$中，$0.5x$表示挂$xkg$物体时弹簧的伸长量，$12$表示弹簧的原长。
因此，$0.5x+12$表示挂$xkg$物体时弹簧的总长度。
(2) 设这根弹簧最多可挂质量为$xkg$的物体。
根据题意，弹簧的总长不超过$20cm$，即：
$0.5x + 12 \leq 20$
移项得：
$0.5x \leq 8$
两边同时除以0.5得：
$x \leq 16$
因此，这根弹簧最多可挂质量为$16kg$的物体。
【答案】：
(1) 挂$xkg$物体时弹簧的总长度
(2) 这根弹簧最多可挂质量为$16kg$的物体。

15. (8分)(2024·池州模拟)观察下列式子：
第1个等式：$13^{2}= 10×(10×1+6)×1+9$；
第2个等式：$23^{2}= 10×(10×2+6)×2+9$；
第3个等式：$33^{2}= 10×(10×3+6)×3+9$；
……
(1)请写出第4个等式：$43^{2} = 10 × (10 × 4 + 6) × 4 + 9$；
(2)设一个两位数为$10a+3$,根据上述规律,请写出$(10a+3)^{2}$的一般性规律.$(10a + 3)^{2} = 10(10a + 6)a + 9=100a^{2} + 120a + 9$

答案： 【解析】：
(1)观察给出的等式，我们可以发现每个等式的左侧是一个两位数的平方，这个两位数的十位数是递增的正整数，个位数是3。等式的右侧是一个表达式，包含这个正整数和一些常数。
第1个等式：$13^2 = 10 × (10 × 1 + 6) × 1 + 9$，
第2个等式：$23^2 = 10 × (10 × 2 + 6) × 2 + 9$，
第3个等式：$33^2 = 10 × (10 × 3 + 6) × 3 + 9$，
根据这个规律，第4个等式的左侧应该是$43^2$，右侧应该是$10 × (10 × 4 + 6) × 4 + 9$。
(2)对于一般性规律，设一个两位数为$10a+3$，我们需要找出$(10a+3)^2$的表达式。
根据观察，我们可以写出$(10a+3)^2$的一般性规律为：
$(10a+3)^2 = 10 × (10a + 6) × a + 9$，
进一步展开和整理，得到：
$(10a+3)^2 = 100a^2 + 60a + 60a+ 9=100a^2 + 120a + 9$。
【答案】：
(1)$43^{2} = 10 × (10 × 4 + 6) × 4 + 9$；
(2)$(10a + 3)^{2} = 10(10a + 6)a + 9=100a^{2} + 120a + 9$。