《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

24. (10分)(2025·宿迁期末)如图①,在$△ABC$中,点D为线段AB延长线上一点,$CF// AD$,过点B作$BE⊥BC$交直线CF于点E,连接BF,$∠FEB= ∠FBE$.
(1)试说明:BE平分$∠FBD$.
(2)若$∠CAB= 80^{\circ },∠CBF= 50^{\circ }$,试判断AC与BF的位置关系,并说明理由.
(3)如图②,分别在线段EF,BE上各取一点M,N,连接BM,FN.若满足$∠CBF= 3∠MBE,∠ABM= 90^{\circ }+\frac {2}{3}∠BFN$,则在直线BE上是否存在一点P,使得$FN＞FP$,如果存在,请通过作图找出点P;如果不存在,请说明理由.
①
②

答案：
(1)因为CF//AD,所以∠E=∠EBD.因为∠FEB=∠FBE,所以∠EBD=∠FBE,则BE平分∠FBD.
(2)AC//BF,理由如下,因为BE⊥BC,所以∠CBE=90°.因为∠CBF=50°,所以∠FBE=90°−50°=40°.因为∠EBD=∠FBE,所以∠FBD=80°.因为∠CAB=80°,所以AC//BF.
(3)不存在,理由如下,设∠MBE=x,则∠CBF=3x,∠FBM=90°−4x,因为∠EBD=∠FBE,∠CBF+∠FBE=∠EBD+∠ABC=90°,所以∠ABC=∠CBF=3x,所以∠ABM=∠ABF+∠FBM=6x+90°−4x=2x+90°.因为∠ABM=90°+2/3∠BFN,所以90°+2x=90°+2/3∠BFN,则∠BFN=3x,所以∠BFN=∠CBF,所以BC//FN,所以∠FNE=∠CBN=90°,则FN⊥BE,根据垂线段最短,故直线BE上不存在一点P使得FN＞FP.

25. (10分)(2024·启东期中)综合与探究.
【问题情境】
如图①,点D是$∠ABC$的边AB上一点,过点D作直线$EF// BC$,BM是$∠ABC$的平分线,以点D为端点作线段DN,连接MN.
【问题初探】
(1)在图①中,若DN是$∠ADF$的平分线,试探究:$∠M与∠N$的数量关系;
【问题再探】
(2)如图②,若DN是$∠BDE$的平分线,则$∠M与∠N$又有怎样的数量关系,请作出判断,并说明理由;
【拓展探究】
(3)如图③,若DN是$∠ADE$的平分线,$∠N= 15^{\circ }$,请求出$∠M$的度数.

答案：
(1)∠M+∠N=180°.理由:因为EF//BC,所以∠ADF=∠ABC.因为BM是∠ABC的平分线,DN是∠ADF的平分线,所以∠ABM=1/2∠ABC,∠ADN=1/2∠ADF,所以∠ABM=∠ADN,所以DN//BM,所以∠M+∠N=180°.
(2)∠M=∠N.理由:因为EF//BC,所以∠ABC=∠BDE.因为BM是∠ABC的平分线,DN是∠BDE的平分线,所以∠ABM=1/2∠ABC,∠BDN=1/2∠BDE,所以∠ABM=∠BDN,所以BM//DN,所以∠M=∠N.
(3)如图,延长ND,BM交于点G,因为EF//BC,所以∠BDF+∠ABC=180°.因为DN是∠ADE的平分线,所以∠ADN=1/2∠ADE.因为∠ADN=∠BDG,∠ADE=∠BDF,所以∠BDG=1/2∠BDF.因为BM是∠ABC的平分线,所以∠ABM=1/2∠ABC,所以∠BDG+∠ABM=1/2∠BDF+1/2∠ABC=1/2(∠BDF+∠ABC)=1/2×180°=90°,所以∠G=180°−(∠BDG+∠ABM)=90°.又∠N=15°,易得∠BMN=∠N+∠G=105°,所以∠BMN的度数为105°.