《2025年学霸提优大试卷七年级数学上册苏科版》

26. (12分)让我们一起探索有趣的“皮克定理”:用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子,小正方形的顶点叫格点,以格点为顶点的多边形叫格点多边形.设格点多边形的面积为S,它各边上格点的个数和为x.

(1)上图中的格点多边形,其内部都只有一个格点,请完成下表,并写出S与x之间的关系式:S= ____.
(2)探索:在上面网格图中画出四个格点多边形,其内部都只有两个格点. 写出所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式.
(3)猜想:当格点多边形内部有且只有n个格点时,写出S与x之间的关系式.

答案：

(1)$\frac{1}{2}x$|多边形的序号|①|②|③|④|…|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|多边形的面积S|2|2.5|3|4|…|
|各边上格点的个数和x|4|5|6|8|…|
[解析]多边形的面积=各边上格点个数和的一半，即$S=\frac{1}{2}x$。
(2)作图 不唯一，合理即可，如图所示：
根据图可知：
长方形的面积是6，它的各边上格点的个数和x是10，内部格点数是2，$6 = 10÷2 + 1$；
三角形的面积是3，它的各边上格点的个数和x是4，内部格点数是2，$3 = 4÷2 + 1$；
平行四边形的面积是4，它的各边上格点的个数和x是6，内部格点数是2，$4 = 6÷2 + 1$；
梯形的面积是5，它的各边上格点的个数和x是8，内部格点数是2，$5 = 8÷2 + 1$。
那么$S=\frac{1}{2}x + 1$。
(3)通过上题探究可知：$S=\frac{1}{2}x + 1$中的1就是由内部的格点数2 - 1而得，所以格点多边形面积=各边上格点的个数和×$\frac{1}{2}$+(多边形内部格点数 - 1)，即$S=\frac{1}{2}x+(n - 1)$。