《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

3. 如图，在正三角形 $ABC$ 中，$D$，$E$，$F$ 分别是 $AB$，$BC$，$AC$ 上的点，$DE\perp BC$，$EF\perp AC$，$FD\perp AB$，则下列结论不成立的是(B).

A.$\triangle FDE\backsim\triangle ABC$
B.$DE=\frac{1}{2}AB$
C.$BE=\frac{1}{2}CE$
D.$\triangle ABC$ 与 $\triangle FDE$ 的相似比为 $\sqrt{3}:1$

答案： 3．B

4. 如图，$D$ 是等边三角形 $ABC$ 边 $AB$ 上的一点，且 $AD:DB = 1:2$，现将 $\triangle ABC$ 折叠，使点 $C$ 与 $D$ 重合，折痕为 $EF$，点 $E$，$F$ 分别在 $AC$ 和 $BC$ 上，则 $CE:CF=$(B).

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{5}{6}$
D.$\frac{6}{7}$

答案： 4．B

5. 如图，在 $□ ABCD$ 中，延长 $AB$ 到点 $E$，使 $BE=\frac{1}{2}AB$，延长 $CD$ 到点 $F$，使 $DF = DC$，$EF$ 交 $BC$ 于点 $G$，交 $AD$ 于点 $H$，则 $EG:GH:HF=$1:2:2.

答案： 5．1:2:2

6. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 8$，$BC = 4$，$CA = 6$，$CD// AB$，$BD$ 是 $\angle ABC$ 的平分线，$BD$ 交 $AC$ 于点 $E$，求 $AE$ 的长.

答案： 6．
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD.
∵AB//CD，
∴∠ABD=∠D，∠A=∠ACD，
∴△ABE∽△CDE，CD=BC=4，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{CD}=\frac{8}{4}=2，$
∴$AE=\frac{2}{3}AC=4$

1. (2023·安徽中考)如图，点 $E$ 在正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上，$EF\perp AB$，垂足为 $F$，连接 $DE$ 并延长，交 $BC$ 于点 $M$，交 $AB$ 的延长线于点 $G$. 若 $AF = 2$，$FB = 1$，则 $MG=$(B).

A.$2\sqrt{3}$
B.$\frac{3\sqrt{5}}{2}$
C.$\sqrt{5}+1$
D.$\sqrt{10}$

答案： 1．B