《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

3. 如图，已知点 $ A(-2,-2) $ 在双曲线 $ y = \frac{k}{x} $ 上，过点 $ A $ 的直线与双曲线的另一支交于点 $ B(1,a) $.
(1) 求直线 $ AB $ 对应的一次函数的表达式；
(2) 过点 $ B $ 作 $ BC \perp x $ 轴于点 $ C $，连接 $ AC $，过点 $ C $ 作 $ CD \perp AB $ 于点 $ D $，求线段 $ CD $ 的长.
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答案： 3.
(1)将点A的坐标(-2, -2)代入$y = \frac{k}{x},$得k = 4,即$y = \frac{4}{x},$将点B的坐标(1,a)代入$y = \frac{4}{x},$得a = 4,即B(1,4).设直线AB对应的一次函数的表达式为y = mx + n,将(-2, -2),(1,4)代入y = mx + n,得$\begin{cases} -2 = -2m + n, \\ 4 = m + n, \end{cases}$解得$\begin{cases}m = 2, \\ n = 2. \end{cases}$
∴直线AB对应的一次函数的表达式为y = 2x + 2.
(2)
∵A(-2, -2),B(1,4),
∴$AB = 3\sqrt{5}.$
∵$S_△ABC = \frac{1}{2} × AB × CD = \frac{1}{2} × BC × 3,$
∴$CD = \frac{BC × 3}{AB} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$

4. (2022·镇江中考)如图，一次函数 $ y = 2x + b $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象交于点 $ A(1,4) $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $.
(1) $ k = $4，$ b = $2.
(2) 连接 $ AO $ 并延长，与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象交于点 $ C $，点 $ D $ 在 $ y $ 轴上. 若以 $ O,C,D $ 为顶点的三角形与 $ \triangle AOB $ 相似，求点 $ D $ 的坐标.
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答案： 4.
(1)4 2
(2)点D的坐标为(0, -2)或$(0, - \frac{17}{2}) $提示:易知点D不可能在y轴的正半轴上.
∴点D在y轴的负半轴上.分两种情况:△AOB∽△COD和△AOB∽△DOC,分析计算可求出点D的坐标