《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

1. 正方形的判定:(1)有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形;(2)对角线相等的菱形是正方形;(3)对角线互相垂直的矩形是正方形;(4)有一个角是直角的菱形是正方形.

答案： 1.
(1)平行四边形
(2)相等
(3)互相垂直
(4)直角

2. 四边形形状的判断:(1)顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的图形是菱形;(2)顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的图形是矩形;(3)顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得到的图形是正方形;(4)顺次连接矩形各边中点所得到的图形是菱形;(5)顺次连接菱形各边中点所得到的图形是矩形;(6)顺次连接正方形各边中点所得到的图形是正方形.

答案： 2.
(1)菱形
(2)矩形
(3)正方形
(4)菱形
(5)矩形
(6)正方形

1. 在四边形 $ABCD$ 中,已知 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,下列条件,能判定这个四边形是正方形的是(A).

A.$AO = BO = CO = DO$,$AC \perp BD$
B.$AB // CD$,$AC = BD$
C.$AD // BC$,$\angle A = \angle C$
D.$AO = CO$,$BO = DO$,$AB = BC$

答案： 1.A

2. 四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC = BD$,且 $AC \perp BD$,分别过 $A$,$B$,$C$,$D$ 作对角线的平行线,则所构成的四边形是(D).

A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形

答案： 2.D

3. 在正方形 $ABCD$ 的 $AB$ 边的延长线上取一点 $E$,使 $BE = BD$,连接 $DE$ 交 $BC$ 于点 $F$,则 $\angle BFD =$112.5°.

答案： 3.112.5°

4. 在 $□ ABCD$ 中,已知对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$.
(1)若 $OA = OB$,且 $OA \perp OB$,则四边形 $ABCD$ 是正方形;
(2)若 $AB = BC$,且 $AC = BD$,则四边形 $ABCD$ 是正方形.

答案： 4.
(1)正方形
(2)正方形

5. 正方形的边长为 $a$,若以此正方形的对角线为一边作正方形,则所作正方形的对角线长为2a.

答案： 5.2a

6. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$M$,$N$ 分别是 $AD$,$BC$ 的中点,$E$,$F$ 分别是边 $BM$,$CM$ 的中点,当 $AB:AD =$1:2时,四边形 $MENF$ 是正方形.

答案： 6.1:2

7. 如图,$P$ 为正方形 $ABCD$ 内一点,$\triangle APB$ 绕点 $B$ 顺时针旋转,与 $\triangle CP'B$ 重合,若 $PP' = 2$,则 $BP' =$$\sqrt{2}$.

答案： $7.\sqrt{2}$