《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

8. 如图,有一块边长为 $4$ 的正方形塑料模板 $ABCD$,让一块足够大的三角尺的直角顶点落在 $A$ 点,两条直角边分别与 $CD$ 交于点 $F$,与 $CB$ 的延长线交于点 $E$,则四边形 $AECF$ 的面积是16.

答案： 8.16

1. 如图,点 $O$ 是线段 $AB$ 上的一点,$OA = OC$,$OD$ 平分 $\angle AOC$ 交 $AC$ 于点 $D$,$OF$ 平分 $\angle COB$,$CF \perp OF$ 于点 $F$.
(1)求证:四边形 $CDOF$ 是矩形.
(2)当 $\angle AOC$ 为多少度时,四边形 $CDOF$ 是正方形? 并说明理由.

答案： 1.
(1)
∵OA=OC,OD平分∠AOC,
∴$OD⊥AC,∠COD=\frac{1}{2}∠AOC.$
∴∠CDO=90°.
∵OF平分∠BOC,
∴$∠COF=\frac{1}{2}∠COB.$
∴$∠DOF=\frac{1}{2}(∠AOC+∠COB)=90°.$
∵CF⊥OF,
∴∠CFO=90°.
∴∠CDO=∠DOF=∠CFO=90°.
∴四边形CDOF是矩形
(2)当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形.理由略

2. 在正方形 $ABCD$ 中,动点 $E$,$F$ 分别从 $D$,$C$ 两点同时出发,以相同的速度在直线 $DC$,$CB$ 上移动.
(1)如图①,当点 $E$ 从点 $D$ 向点 $C$,点 $F$ 从点 $C$ 向点 $B$ 移动时,连接 $AE$ 和 $DF$,交于点 $P$,请你写出 $AE$ 与 $DF$ 之间的数量和位置关系,并说明理由.
(2)如图②,当点 $E$,$F$ 分别移动到边 $DC$,$CB$ 的延长线上时,连接 $AE$ 和 $DF$,(1) 的结论是否还成立? 是.(填“是”或“否”,不需证明)
(3)如图③,当 $E$,$F$ 分别在 $CD$,$BC$ 的延长线上移动时,连接 $AE$ 和 $DF$,(1) 的结论还成立吗? 请说明理由.

答案： 2.
(1)AE=DF,AE⊥DF.理由:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°.
∵DE=CF,
∴△ADE≌△DCF.
∴AE=DF,∠DAE=∠CDF.
∵∠CDF+∠ADF=90°,
∴∠DAE+∠ADF=90°.
∴AE⊥DF
(2)是
(3)成立.理由:由
(1)同理可证AE=DF,∠DAE=∠CDF.延长FD交AE于点G,则∠CDF+∠ADG=90°,
∴∠ADG+∠DAE=90°.
∴AE⊥DF