《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

1. 如图，$ P $ 是抛物线 $ y = x^{2} $ 上第一象限内的一点，点 $ A $ 的坐标为 $ (3,0) $.

(1) 设点 $ P $ 的坐标为 $ (x,y) $，求 $ \triangle OPA $ 的面积 $ S $ 与 $ y $ 的关系式.
(2) $ S $ 是 $ y $ 的什么函数？$ S $ 是 $ x $ 的什么函数？

答案： 1.
(1)S=3/2y
(2)S是y的一次函数,S是x的二次函数

2. 如图，某涵洞截面的形状是抛物线，现测得水面宽 $ AB = 1.6\ m $，涵洞的顶点 $ O $ 到水面的距离为 $ 2.4\ m $，求在如图所示的坐标系中抛物线的表达式.

答案： 2.该抛物线的表达式为$y=-15/4x^{2}$

3. 已知点 $ A(1,a) $ 在抛物线 $ y = x^{2} $ 上.
(1) 求点 $ A $ 的坐标.
(2) 在 $ x $ 轴上是否存在点 $ P $，使得 $ \triangle OAP $ 是等腰三角形？若存在，求出点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 3.
(1)A(1,1)
(2)存在.这样的点P有四个,即$P_{1}(√2,0),P_{2}(-√2,0),P_{3}(2,0),P_{4}(1,0)$