《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

16. 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AD \perp BC$ 于点 $D$，$BE$ 平分 $\angle ABC$ 交 $AD$ 于点 $F$，交 $AC$ 于点 $E$，若 $EG \perp BC$ 于点 $G$，连接 $FG$.求证：四边形 $AFGE$ 是菱形.

答案： 16.
∵∠BAC = 90°，
∴∠CAD + ∠BAD = 90°.又
∵AD⊥BC，
∴∠CAD + ∠C = 90°，
∴∠BAD = ∠C.又
∵∠AFE = ∠ABF + ∠BAD，∠AEB = ∠CBF + ∠C，而∠ABF = ∠CBF，
∴∠AFE = ∠AEF，
∴AF = AE.
∵∠ABF = ∠CBF，EG⊥BC，CA⊥BA，
∴AE = EG，
∴AF = EG.
∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴AD//EG.又
∵AF = EG，
∴四边形AFGE是平行四边形.而AF = AE，
∴四边形AFGE是菱形

17. 某校九年级举行毕业典礼，需要从九(1)班的 $2$ 名男生、$1$ 名女生，九(2)班的 $1$ 名男生、$1$ 名女生中选出 $2$ 名主持人.
(1) 用画树状图法或列表法列出所有可能情形；
(2) 求 $2$ 名主持人来自不同班级的概率；
(3) 求 $2$ 名主持人恰好是 $1$ 男 $1$ 女的概率.

答案： 17.
(1)略
(2)2名主持人来自不同班级的概率为$\frac{3}{5}$　
(3)2名主持人恰好是1男1女的概率为$\frac{3}{5}$

18. 两棵树及其影子的情形如图所示.
(1) 哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？
(2) 你是用什么方法判断的？
(3) 请画出图中表示小丽影子的线段.

答案：
(1) 图①反映了阳光下的情形，图②反映了路灯下的情形。
(2) 阳光属于平行投影，投射的影子平行；路灯属于中心投影，投射的影子不平行。通过观察影子方向是否平行判断。
(3) 如图所示（在图①中，影子为平行于地面的线段，从小丽脚下向树影方向延伸；在图②中，影子为从路灯位置经小丽脚下向地面延伸的线段）。