《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

22. (2025·郑州二模)在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 6$，$BC = 12$.
(1) 如图①，点 $E$ 为矩形 $ABCD$ 内一点，请过点 $E$ 作一条直线，将矩形 $ABCD$ 的面积平分，并说明理由；
(2) 如图②，若点 $E$ 为对角线 $AC$ 上一点，且 $AE = \frac{1}{4}AC$，点 $F$ 为边 $AB$ 上一点，作直线 $EF$ 并延长 $FE$ 交边 $AD$ 于点 $G$，直接写出 $\triangle AFG$ 面积的最小值.

答案：
22.
(1)如图，理由如下：连接AC，BD相交于点O.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AO = CO，AD//BC.
∴∠DAC = ∠BCA.
∵∠AON = ∠COM，
∴△AON≌△COM(ASA).
∴S四边形ABMN = S△AON + S四边形ABMO = S四边形ABMO + S△COM = S△ABC = $\frac{1}{2}$S矩形ABCD

(2)9

23. (2022·牡丹江中考)如图，在平面直角坐标系中，四边形 $ABCD$ 的顶点 $A$ 在 $y$ 轴上，其顶点 $B$，$C$ 在 $x$ 轴上，$AD // BC$，$\angle ABC$ 的平分线 $BD$ 交 $AO$ 于点 $E$，交 $AC$ 于点 $F$，$\angle CAO = \angle DBC$.已知 $OB$，$OC$ 的长分别是一元二次方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的两根，且 $OB ＞ OC$.
(1) 求点 $B$，$C$ 的坐标.
(2) 若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $D$，求该反比例函数的表达式.
(3) 是否存在点 $M$，$N$ (点 $M$ 在点 $N$ 的上方)，使以 $B$，$D$，$M$，$N$ 为顶点的四边形是相邻两边长的比为 $2:3$ 的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内的点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 23.
(1)点B的坐标为(-3, 0)，点C的坐标为(2, 0)　
(2)该反比例函数的表达式为y = $\frac{20}{x}$　提示：
∵B(-3, 0)，C(2, 0)，
∴BC = 5.利用∠CAO = ∠DBC，易得∠BFC = 90°.从而易得△ABF≌△CBF.
∴AB = BC = 5.
∴AO = $\sqrt{AB² - OB²}$ = 4.易得AB = AD = 5.
∴D(5, 4).从而可得到反比例函数的表达式　
(3)存在，在第四象限内的点N的坐标为(3, -12)或($\frac{17}{13}$, -$\frac{32}{13}$)或($\frac{57}{13}$, -$\frac{12}{13}$)