《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

19. 已知关于 $x$ 的方程 $mx^2 - (m + 2)x + 2 = 0(m \neq 0)$.
(1) 求证：方程总有两个实数根；
(2) 若方程的两个实数根都是整数，求正整数 $m$ 的值.

答案： 19.
(1)
∵m≠0，
Δ = [-(m + 2)]² - 4m×2 = (m - 2)²≥0，
∴原方程总有两个实数根　
(2)
∵mx² - (m + 2)x + 2 = 0，即(x - 1)(mx - 2) = 0，
∴x₁ = 1，x₂ = $\frac{2}{m}$.又
∵x₁ = 1，x₂ = $\frac{2}{m}$为整数，
∴m = 1或m = 2

20. (2024·宜宾中考)如图，一次函数 $y = ax + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于点 $A(1,4)$，$B(n,-1)$.
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式.
(2) 利用图象，直接写出不等式 $ax + b ＜ \frac{k}{x}$ 的解集.
(3) 已知点 $D$ 在 $x$ 轴上，点 $C$ 在反比例函数图象上.若以 $A$，$B$，$C$，$D$ 为顶点的四边形是平行四边形，求点 $C$ 的坐标.

答案： 20.
(1)将点A，B的坐标代入反比例函数表达式得k = 4×1 = -n，解得k = 4，n = -4.即反比例函数的表达式为y = $\frac{4}{x}$，点B(-4, -1).将点A，B的坐标代入一次函数表达式，得$\begin{cases}4 = a + b \\ -1 = -4a + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1 \\ b = 3\end{cases}$，则一次函数表达式为y = x + 3　
(2)观察函数图象知，当0＜x＜1或x＜ - 4时，ax + b＜$\frac{k}{x}$成立　
(3)设点C的坐标为(m, $\frac{4}{m}$)，点D(x, 0)，当AB为对角线时，由中点坐标公式得4 - 1 = $\frac{4}{m}$，解得m = $\frac{4}{3}$，则点C($\frac{4}{3}$, 3).当AC或AD为对角线时，同理可得4 + $\frac{4}{m}$ = -1或4 = $\frac{4}{m}$ - 1，解得m = ±$\frac{4}{5}$.则点C(-$\frac{4}{5}$, -5)或C($\frac{4}{5}$, 5).综上，点C的坐标为($\frac{4}{3}$, 3)或(-$\frac{4}{5}$, -5)或($\frac{4}{5}$, 5)

21. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 $40$ 元，按每千克 $60$ 元出售，平均每天可售出 $100$ kg，后来经过市场调查发现，价格每千克降低 $2$ 元，则平均每天的销量可增加 $20$ kg，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 $2240$ 元，请回答：
(1) 每千克核桃应降价多少元？
(2) 在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

答案： 21.
(1)设每千克核桃应降价x元.根据题意，得(60 - x - 40)(100 + $\frac{x}{2}$×20) = 2240.化简，得x² - 10x + 24 = 0，解得x₁ = 4，x₂ = 6.答：每千克核桃应降价4元或6元
(2)由
(1)可知，每千克核桃可降价4元或6元.因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元.此时，售价为60 - 6 = 54(元)，$\frac{54}{60}$×100% = 90%.答：该店应按原售价的九折出售