《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

2. 【材料阅读】为了解方程$(x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+4 = 0$，我们可以将$x^{2}-1$视为一个整体。设$x^{2}-1 = y$，那么原方程可化为$y^{2}-5y + 4 = 0$，①解得$y_{1}=1,y_{2}=4$。
当$y = 1$时，$x^{2}-1 = 1$，$\therefore x^{2}=2$，$\therefore x=\pm\sqrt{2}$；当$y = 4$时，$x^{2}-1 = 4$，$\therefore x^{2}=5$，$\therefore x=\pm\sqrt{5}$。
故原方程的解为$x_{1}=\sqrt{2},x_{2}=-\sqrt{2},x_{3}=\sqrt{5},x_{4}=-\sqrt{5}$。
解答问题：
(1) 上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；
(2) 请利用以上知识解方程：$(x^{2}+x)^{2}-5(x^{2}+x)+4 = 0$；
(3) 已知实数$a,b$满足$(a^{2}+b^{2})^{2}-3(a^{2}+b^{2})-10 = 0$，试求$a^{2}+b^{2}$的值。

答案： 2.
(1)换元
(2)设$m = x^{2} + x$，则$m^{2} - 5m + 4 = 0.\therefore(m - 1)(m - 4) = 0$，解得$m_1 = 1,m_2 = 4$。 ①当$x^{2} + x = 1$时，解得$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$；②当$x^{2} + x = 4$时，解得$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2}$。故原方程的解为$x_1 = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2},x_2 = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2},x_3 = \frac{- 1 + \sqrt{17}}{2},x_4 = \frac{- 1 - \sqrt{17}}{2}$
(3)设$n = a^{2} + b^{2}$，则$n^{2} - 3n - 10 = 0$，且$n ＞ 0$。整理，得$(n - 5)(n + 2) = 0$。解得$n_1 = 5,n_2 = - 2$(舍去)。故$a^{2} + b^{2} = 5$

1. 一元二次方程 $ x^{2}-x - 1 = 0 $ 的两根的和与两根的积分别是(C).

A.$ 1,1 $
B.$ -1,-1 $
C.$ 1,-1 $
D.$ -1,1 $

答案： 1 C

2. 方程 $ x^{2}-3x + 2 = 0 $ 的两根分别为 $ x_{1} = $2，$ x_{2} = $1，则 $ x_{1}+x_{2} = $3，$ x_{1}x_{2} = $2.

答案： 2 2 1 3 2

3. 若方程 $ x^{2}+px + q = 0 $ 的两根是 $ x_{1},x_{2} $，则 $ x_{1}+x_{2} = $-p，$ x_{1}x_{2} = $q.

答案： 3 -p q