《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

6. (2022·内蒙古中考) 对于实数$a,b$定义运算“$\otimes$”：$a\otimes b = b^{2}-ab$，例如，$3\otimes2 = 2^{2}-3×2 = - 2$。关于$x$的方程$(k - 3)\otimes x = k - 1$的根的情况，下列说法正确的是(A)。

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定

答案： 6.A

7. (2023·宜宾中考) 若关于$x$的方程$x^{2}-2(m + 1)x + m + 4 = 0$的两根的倒数和为$1$，则$m$的值为2。

答案： 7.2

8. (2022·黄石中考) 阅读材料，解答问题：

材料 1 为了解方程$(x^{2})^{2}-13x^{2}+36 = 0$，如果我们把$x^{2}$看作一个整体，然后设$y = x^{2}$，则原方程可化为$y^{2}-13y + 36 = 0$，经过运算，原方程的解为$x_{1}=2,x_{2}=-2,x_{3}=3,x_{4}=-3$。我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法。
材料 2 已知实数$m,n$满足$m^{2}-m - 1 = 0,n^{2}-n - 1 = 0$，且$m\neq n$，显然$m,n$是方程$x^{2}-x - 1 = 0$的两个不相等的实数根，由根与系数关系可知$m + n = 1,mn = - 1$。
(1) 直接应用 方程$x^{4}-5x^{2}+6 = 0$的解为$x_1 = \sqrt{2}$,$x_2 = -\sqrt{2}$,$x_3 = \sqrt{3}$,$x_4 = -\sqrt{3}$。
(2) 间接应用 已知实数$a,b$满足：$2a^{4}-7a^{2}+1 = 0,2b^{4}-7b^{2}+1 = 0$，且$a\neq b$，求$a^{4}+b^{4}$的值。
(3) 拓展应用 已知实数$m,n$满足：$\frac{1}{m^{4}}+\frac{1}{m^{2}}=7,n^{2}-n = 7$，且$n\gt0$，求$\frac{1}{m^{4}}+n^{2}$的值。

答案： 8.
(1)$x_1 = \sqrt{2}$,$x_2 = -\sqrt{2}$,$x_3 = \sqrt{3}$,$x_4 = -\sqrt{3}$
(2)$a^4 + b^4$ 的值为$\frac{45}{4}$或$\frac{45 \pm 7\sqrt{41}}{4}$ 提示：由$a \neq b$可知,$a^2 \neq b^2$ 或$a^2 = b^2$，然后分两种情况进行分析计算
(3)令$\frac{1}{m^2} = a$,$-n = b$.
$\therefore a^2 + a - 7 = 0$,$b^2 + b - 7 = 0$.$\because n ＞ 0$,$\therefore \frac{1}{m^2} \neq -n$,即$a \neq b$.
$\therefore a$,$b$ 是方程$x^2 + x - 7 = 0$ 的两个不相等的实数根.$\therefore a + b = -1$,$ab = -7$.$\therefore \frac{1}{m^4} + n^2 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 15$

9. (2022·衢州中考) 将一个容积为$360\ cm^{3}$的包装盒剪开铺平，纸样如图所示。利用容积，列出图中$x(cm)$满足的一元二次方程：$15x(10 - x) = 360$。(不必化简)
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答案： 9.$15x(10 - x) = 360$

10. (2024·重庆中考) 重庆在低空经济领域实现了新的突破。今年第一季度低空飞行航线安全运行了$200$架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到$401$架次。设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为$x$，根据题意，可列方程为$200(1 + x)^2 = 401$。

答案： 10.$200(1 + x)^2 = 401$