《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

6. 有一个两位数恰等于其个位与十位上的两个数字乘积的 $ 3 $ 倍，已知十位上的数字比个位上的数字小 $ 2 $，求这个两位数。

答案： 6.这个两位数为24

1. 《九章算术》勾股章有一问题：今有立木，系索其末，委地三尺。引索却行，去本八尺而索尽。问索长几何。其大意是：现有一根竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 $ 3 $ 尺($ 1 $ 尺 $ \approx 0.33 m $)。牵着绳索退行，在离木柱根部 $ 8 $ 尺处时绳索用尽。请问绳索有多长。若设绳索长度为 $ x $ 尺，根据题意，可列方程为(C)。

A.$ 8^{2} + x^{2} = (x - 3)^{2} $
B.$ 8^{2} + (x + 3)^{2} = x^{2} $
C.$ 8^{2} + (x - 3)^{2} = x^{2} $
D.$ x^{2} + (x - 3)^{2} = 8^{2} $

答案： 1.C

2. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90^{\circ} $，$ AC = 8 cm $，$ AB = 10 cm $，点 $ P $，$ Q $ 同时由 $ A $，$ C $ 两点出发，分别沿 $ AC $，$ CB $ 方向移动，它们的速度都是 $ 1 cm/s $（当点 $ Q $ 移动到点 $ B $ 后停止，点 $ P $ 也随之停止）。经过几秒，$ P $，$ Q $ 两点相距 $ 2\sqrt{10} cm $？并求此时 $ \triangle PCQ $ 的面积。

答案： 2.设经过$x s$，易知$0 ＜ x \leq 6$，$P$，$Q$两点相距$2\sqrt{10} cm$。由题意，得$(8 - x)^2 + x^2 = (2\sqrt{10})^2$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = 6$。当$x = 2$时，$S_{\triangle PCQ} = \frac{1}{2} × (8 - 2) × 2 = 6 ( cm^2)$；当$x = 6$时，$S_{\triangle PCQ} = \frac{1}{2} × (8 - 6) × 6 = 6 ( cm^2)$。答：经过2 s或6 s，$P$，$Q$两点相距$2\sqrt{10} cm$，此时$\triangle PCQ$的面积是$6 cm^2$

1. 某生物兴趣小组的同学将自己采集到的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了 $ 182 $ 件，全组共有多少名同学？设全组有 $ x $ 名同学，则根据题意列出的方程是 $x(x - 1) = 182$.

答案： 1.$x(x - 1) = 182$

2. 从正方形纸片上截去一个以正方形边长为长、宽 $ 2 cm $ 的长方形，余下部分的面积是 $ 48 cm^{2} $，则原正方形纸片的面积是 $64 cm^2$.

答案： 2.$64 cm^2$

3. 一块长方形硬纸片，在它的四个角上截去四个相同的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，已知纸片的长为 $ 40 cm $，宽为 $ 32 cm $，要使盒子的底面积为 $ 768 cm^{2} $，则截去的小正方形的边长应为 $4 cm$.

答案： 3.$4 cm$