《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

1. 已知一元二次方程$2x^{2}-5x + 1 = 0$的两个根是$x_{1},x_{2}$，下列结论正确的是(D)。

A.$x_{1}+x_{2}=-\frac{5}{2}$
B.$x_{1}x_{2}=1$
C.$x_{1},x_{2}$都是有理数
D.$x_{1},x_{2}$都是正数

答案： 1.D

2. 定义$[x]$表示不超过实数$x$的最大整数，如$[1.8]=1,[-1.4]=-2,[-3]=-3$，函数$y = [x](-2\leqslant x\lt2)$的图象如图所示，则方程$[x]=\frac{1}{2}x^{2}$的解为(A)。


A.$0$或$\sqrt{2}$
B.$0$或$2$
C.$1$或$-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$或$-\sqrt{2}$

答案： 2.A 提示：当$1 \leq x ＜ 2$ 时,$\frac{1}{2}x^2 = 1$,解得$x_1 = \sqrt{2}$,$x_2 = -\sqrt{2}$(舍去).当$0 \leq x ＜ 1$ 时,$\frac{1}{2}x^2 = 0$,$x = 0$;当$-1 \leq x ＜ 0$ 时,$\frac{1}{2}x^2 = -1$,方程没有实数解;当$-2 \leq x ＜ -1$ 时,$\frac{1}{2}x^2 = -2$,方程没有实数解.所以方程$[x] = \frac{1}{2}x^2$ 的解为$0$或$\sqrt{2}$

3. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+ax + b = 0$有一个非零根$-b$，则$a - b$的值为(A)。

A.$1$
B.$-1$
C.$0$
D.$-2$

答案： 3.A

4. $a,b,c$为常数，且$(a - c)^{2}\gt a^{2}+c^{2}$，则关于$x$的方程$ax^{2}+bx + c = 0$根的情况是(B)。

A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.有一根为$0$

答案： 4.B

5. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+3x - k = 0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是$k ＞ -\frac{9}{4}$。

答案： 5.$k ＞ -\frac{9}{4}$

6. 已知等腰三角形的一边长为$9$，另一边长为方程$x^{2}-8x + 15 = 0$的根，则该等腰三角形的周长为$19$ 或$21$ 或$23$。

答案： 6.$19$ 或$21$ 或$23$ 提示：由方程$x^2 - 8x + 15 = 0$,解得$x = 3$ 或$x = 5$.当等腰三角形的三边长为$9$,$9$,$3$ 时,其周长为$21$;当等腰三角形的三边长为$9$,$9$,$5$ 时,其周长为$23$;当等腰三角形的三边长为$9$,$3$,$3$ 时,$3 + 3 ＜ 9$,不符合三角形三边关系要求,舍去;当等腰三角形的三边长为$9$,$5$,$5$ 时,其周长为$19$.综上,该等腰三角形的周长为$19$ 或$21$ 或$23$

7. 已知关于$x$的一元二次方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0,a,b,c$分别是$\triangle ABC$三边长。
(1) 如果$\triangle ABC$是等边三角形，求这个一元二次方程的根；
(2) 如果方程有两个相等的实数根，试判断$\triangle ABC$的形状，并说明理由。

答案： 7.
(1)等边三角形的三边相等,即$a = b = c$.故原方程可化为$2ax^2 + 2ax = 0$.解得$x_1 = 0$,$x_2 = -1$
(2)$\triangle ABC$ 是直角三角形.理由：由题意可知,$\Delta = (2b)^2 - 4(a + c) × (a - c) = 0$,即$4b^2 - 4(a^2 - c^2) = 0$,可得$b^2 + c^2 = a^2$.故$\triangle ABC$ 是直角三角形

8. 如图，一农户要建一个矩形羊舍，羊舍的一边利用长为$12\ m$的住房墙，另外三边用$25\ m$长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个$1\ m$宽的门，则当所围矩形羊舍的长、宽分别为多少时，羊舍面积为$80\ m^{2}$？

答案： 8.设矩形羊舍垂直于住房墙的一边长为$x m$.可以得出平行于墙的一边长为$(25 - 2x + 1)m$,由题意得$x(25 - 2x + 1) = 80$,化简,得$x^2 - 13x + 40 = 0$,解得$x_1 = 5$,$x_2 = 8$.当$x = 5$ 时,$26 - 2x = 16 ＞ 12$,应舍去;当$x = 8$ 时,$26 - 2x = 10 ＜ 12$.答：所围矩形羊舍的长为$10m$,宽为$8m$