《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

9. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ},AC = 8\ cm,BC = 4\ cm$，一动点$P$从点$C$出发沿着$CB$方向以$1\ cm/s$的速度运动，另一动点$Q$从点$A$出发沿着$AC$方向以$2\ cm/s$的速度运动，$P,Q$两点同时出发，运动时间为$t\ s$。（当点$P$运动到点$B$后停止时，点$Q$也随之停止）
(1) 当$t$为多少时，$\triangle PCQ$的面积是$\triangle ABC$面积的$\frac{1}{4}$？
(2) $\triangle PCQ$的面积能否为$\triangle ABC$面积的一半？若能，求出$t$的值；若不能，请说明理由。
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答案： 9.
(1)由题意得$CP = t cm$,$AQ = 2t cm$,$AC = 8 cm$,则$CQ = (8 - 2t)cm$,$\therefore S_{\triangle PCQ} = \frac{1}{2} × t × (8 - 2t) cm^2$.$\because S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × 4 × 8 = 16 (cm^2)$,$\therefore \frac{1}{2}t · (8 - 2t) = 16 × \frac{1}{4}$,解得$t_1 = t_2 = 2$.由题意可知,$t \leq 4$,$\therefore t = 2$ 满足题意.因此,当$t = 2$ 时,$\triangle PCQ$ 的面积为$\triangle ABC$ 面积的$\frac{1}{4}$
(2)不能.理由如下：当$S_{\triangle PCQ} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$ 时,可得$\frac{1}{2}t · (8 - 2t) = 16 × \frac{1}{2}$,整理,得$t^2 - 4t + 8 = 0$.$\because b^2 - 4ac = -16 ＜ 0$,$\therefore$ 此方程没有实数根.因此,$\triangle PCQ$ 的面积不能为$\triangle ABC$ 面积的一半

10. 如图，一块长$5\ m$、宽$4\ m$的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的$\frac{17}{80}$。
(1) 求配色条纹的宽度；
(2) 如果地毯配色条纹部分每平方米的造价是$200$元，其余部分每平方米的造价是$100$元，求地毯的总造价。
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答案： 10.
(1)设配色条纹的宽度为$x m$.依题意得$2x × 5 + 2x × 4 - 4x^2 = \frac{17}{80} × 5 × 4$,解得$x_1 = \frac{17}{4}$(舍去),$x_2 = \frac{1}{4}$.答：配色条纹宽度为$\frac{1}{4} m$
(2)地毯配色条纹的造价：$\frac{17}{80} × 5 × 4 × 200 = 850$(元),其余部分的造价：$(1 - \frac{17}{80}) × 5 × 4 × 100 = 1575$(元),$\therefore$ 总造价为$850 + 1575 = 2425$ 元.答：地毯的总造价是$2425$ 元

11. 一商店销售某种商品，平均每天可售出$20$件，每件盈利$40$元。为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于$25$元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低$1$元，平均每天可多售出$2$件。
(1) 若降价$3$元，则平均每天可售出$26$件；
(2) 当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为$1200$元？

答案： 11.
(1)$26$
(2)设每件商品降价$x$ 元,则每件盈利$(40 - x)$ 元,平均每天可售出$(20 + 2x)$ 件.由题意,得$(40 - x)(20 + 2x) = 1200$,解得$x_1 = 10$,$x_2 = 20$.当$x = 10$ 时,$40 - x = 40 - 10 = 30 ＞ 25$,符合题意;当$x = 20$ 时,$40 - x = 40 - 20 = 20 ＜ 25$,不符合题意,舍去.答：当每件商品降价$10$ 元时,该商店每天销售利润为$1200$ 元