《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

8. 如图，已知 $\angle A = 60^{\circ}$，$BD$，$CE$ 是 $\triangle ABC$ 的两条高，试说明 $\triangle ADE\sim\triangle ABC$。

答案： 8.
∵ BD ⊥ AC, CE ⊥ AB,
∴ ∠ADB = ∠AEC = 90°. 又
∵ ∠A = 60°,
∴ ∠ABD = ∠ACE = 30°,
∴ AB = 2AD, AC = 2AE,
∴ $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{2}$. 又
∵ ∠BAC = ∠DAE,
∴ △ADE∽△ABC

9. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$\angle ABD=\angle ACD$，试找出图中的相似三角形，并加以证明。

答案： 9.①△AOB∽△DOC　提示:
∵ ∠ABD = ∠ACD, ∠AOB = ∠DOC,
∴ △AOB∽△DOC
②△AOD∽△BOC　提示: 由①知△AOB∽△DOC,
∴ $\frac{OA}{OD} = \frac{OB}{OC}$,
∴ $\frac{OA}{OB} = \frac{OD}{OC}$. 又
∵ ∠AOD = ∠BOC,
∴ △AOD∽△BOC

1. $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 是两个等腰直角三角形，$\angle A=\angle D = 90^{\circ}$，$\triangle DEF$ 的顶点 $E$ 是边 $BC$ 的中点。
(1) 如图①，设 $DE$ 与 $AB$ 交于点 $M$，$EF$ 与 $AC$ 交于点 $N$，求证：$\triangle BEM\sim\triangle CNE$。
(2) 如图②，将 $\triangle DEF$ 绕点 $E$ 旋转，使得 $DE$ 与 $BA$ 的延长线交于点 $M$，$EF$ 与 $AC$ 交于点 $N$，连接 $MN$，则除(1)中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形？并证明你的结论。
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答案： 1.
(1)
∵ △ABC是等腰直角三角形,
∴ ∠MBE = 45°,
∴ ∠BME + ∠MEB = 135°. 又
∵ △DEF是等腰直角三角形,
∴ ∠DEF = 45°.
∴ ∠NEC + ∠MEB = 135°.
∴ ∠BME = ∠NEC. 而∠MBE = ∠ECN = 45°,
∴ △BEM∽△CNE
(2)与
(1)同理△BEM∽△CNE,
∴ $\frac{BE}{CN} = \frac{EM}{NE}$. 又
∵ BE = EC,
∴ $\frac{EC}{CN} = \frac{EM}{NE}$. 又∠ECN = ∠MEN = 45°,
∴ △ECN∽△MEN

2. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = 8$，$AD = 3$，$BC = 4$，点 $P$ 为 $AB$ 边上一动点，若 $\triangle PAD$ 与 $\triangle PBC$ 是相似三角形，求满足条件的 $AP$ 的长。

答案： 2.AP的长为$\frac{24}{7}$或2或6