《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

7. (2023·巴中中考)如图，在等边三角形 $ABC$ 中，$AD \perp BC$，垂足为 $D$，$E$ 为 $AB$ 的中点. 以点 $D$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $DE$，$DB$ 于点 $M$，$N$，分别以点 $M$，$N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}MN$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$，作射线 $DP$. 射线 $DP$ 交 $AB$ 于点 $G$，过点 $E$ 作 $EF // BC$ 交射线 $DP$ 于点 $F$，连接 $BF$，$AF$.
(1) 求证：四边形 $BDEF$ 是菱形；
(2) 若 $AC = 4$，求 $\triangle AFD$ 的面积.

答案： 7.
(1)证明略　提示：利用等边三角形ABC，AD⊥BC，E为AB的中点，易证△BED是等边三角形.
∴BE = BD = DE. 由尺规作图步骤知，DF平分∠EDB.
∴EG = BG. 易证△EFG ≌ △BDG.
∴EF = BD.
∵EF//BD，
∴四边形BDEF是平行四边形.
∵DE = BD，
∴四边形BDEF是菱形　
(2)△AFD的面积为3√3　提示：在等边三角形ABC中，易得AD = 2√3. 在Rt△AGD中，利用∠BAD = 30°，易得DG = √3，AG = 3.
∴FD = 2DG = 2√3. 利用S△AFD = 1/2FD·AG，可得△AFD的面积为3√3

8. (2023·宁波中考)定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形，称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角.
(1) 如图①，在四边形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，$\angle A = 90^{\circ}$，对角线 $BD$ 平分 $\angle ADC$. 求证：四边形 $ABCD$ 为邻等四边形.
(2) 如图②，在 $6 × 5$ 的方格纸中，点 $A$，$B$，$C$ 均在格点上，若四边形 $ABCD$ 是邻等四边形，请画出所有符合条件的在格点上的点 $D$.
(3) 如图③，四边形 $ABCD$ 是邻等四边形，$\angle DAB = \angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle BCD$ 为邻等角，连接 $AC$，过 $B$ 作 $BE // AC$，交 $DA$ 的延长线于点 $E$. 若 $AC = 8$，$DE = 10$，求四边形 $EBCD$ 的周长.

答案：
8.
(1)证明略　
(2)如图所示，点D，D'，D''就是所求的点
(3)四边形EBCD的周长为38 - 6√2　提示：易证四边形AEBC是平行四边形.
∴AE = BC = DC. 设AE = BC = DC = x，
∴AD = 10 - x. 过点D作DF⊥BC于点F，
∴AD = BF = 10 - x，CF = BC - BF = 2x - 10. 在Rt△ABE和Rt△DFC中，利用勾股定理，可得AB² = BE² - AE²，DF² = CD² - CF².
∴BE² - AE² = CD² - CF²，
∴8² - x² = x² - (2x - 10)². 从而求出x的值，可得四边形EBCD的周长为38 - 6√2