《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

1. 通过计算，比较下列各组数的大小，并提出你的猜想.
(1) $\sin 30^{\circ}$=$2\sin 15^{\circ}\cos 15^{\circ}$; $\sin 36^{\circ}$=$2\sin 18^{\circ}\cos 18^{\circ}$; $\sin 45^{\circ}$=$2\sin 22.5^{\circ}\cos 22.5^{\circ}$; $\sin 60^{\circ}$=$2\sin 30^{\circ}\cos 30^{\circ}$; $\sin 80^{\circ}$=$2\sin 40^{\circ}\cos 40^{\circ}$.
猜想：已知 $0^{\circ}＜\alpha＜45^{\circ}$，则 $\sin 2\alpha$=$2\sin\alpha\cos\alpha$.
(2) 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC = 1$，$\angle BAC = 2\alpha$，请根据提示，利用面积方法验证结论.

答案： 1.
(1)= = = =　　= =　
(2)在Rt△ABE中，sin 2α=$\frac{BE}{AB}$=BE。在Rt△ABD中，sin α=$\frac{BD}{AB}$=BD，cos α=AD。S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BE=$\frac{1}{2}$BC·AD，BE=BC·AD=2BD·AD，即sin 2α=2sin αcos α

2. 图①是某种路灯的实物图片，图②是该路灯的平面示意图，$MN$ 为立柱的一部分，灯臂 $AC$、支架 $BC$ 与立柱 $MN$ 分别交于 $A,B$ 两点，灯臂 $AC$ 与支架 $BC$ 交于点 $C$，已知 $\angle MAC = 60^{\circ}$，$\angle ACB = 15^{\circ}$，$AC = 40\ cm$，求支架 $BC$ 的长. (结果精确到 $1\ cm$；参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{6}\approx2.449$)

答案：
2.如图，过点C作CD⊥MN于点D，则∠CDB=90°。
∵∠CAD=60°，AC=40cm，
∴CD=AC·sin∠CAD=40×sin 60°=40×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=20$\sqrt{3}$(cm)。
∵∠ACB=15°，
∴∠CBD=∠CAD−∠ACB=45°，
∴BC=$\sqrt{2}$CD=20$\sqrt{6}$≈49(cm)。答：支架BC的长约为49cm
　　　　　　　　

1. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中， $ \angle C = 90° $， $ AB = 6 $， $ \cos B = \dfrac{2}{3} $，则 $ BC $ 的长为(A)。

A.$ 4 $
B.$ 2\sqrt{5} $
C.$ \dfrac{18\sqrt{13}}{13} $
D.$ \dfrac{12\sqrt{13}}{13} $

答案： 1.A